Calcule el volumen del solido que define los plano z=0, 3x+z=3, dentro de la columna cuadrada |x|+|y|<=1.
Alguien me puede instruir con este punto de un taller muchas gracias.
calcule el volumen del solido que define los plano z=0, 3x+z=3, dentro de la columna cuadrada |x|+|y|<=1.
1 Respuesta
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¡Hola José!
La función que hay que integrar es
3x+z=3
z=3-3x
El corte con el plano z=0 es
0=3-3x
3x=3
x=1
Es una recta que está fuera del dominio de integración salvo para x=1 donde coinciden, ya que
|x|+|y|<=1 ==> |x| <=1 ==> -1<=x <=1
Eso quiere decir que todo el dominio de integración tiene el plano por encima o por debajo. Probemos con x=0
z = 3 - 3·0 = 3
Luego el plano es superior al plano z=0 en el dominio de integración
El dominio de integración es un rombo cuyos vértices son (0,1), (1,0),(0,-1) y (-1,0)
No sé si será posible definirlo en una sola integral
$$\begin{align}&V=\int_{-1}^0\int_{-1-x}^{1+x}(3-3x)dy\,dx+\int_0^1\int_{-1+x}^{1-x}(3-3x)dy\,dx=\\&\\&\int_{-1}^0(3-3x)y\bigg|_{-1-x}^{1+x}dx+\int_0^1(3-3x)y\bigg|_{-1+x}^{1-x}\,dx=\\&\\&\int_{-1}^0(3-3x)(1+x+1+x)dx+\int_0^1(3-3x)(1-x+1-x)\,dx=\\&\\&\int_{-1}^0(3-3x)(2+2x)dx+\int_0^1(3-3x)(2-2x)dx=\\&\\&\int_{-1}^0(6+6x-6x-6x^2)dx+\int_0^1(6-6x-6x+6x^2)dx\\&\\&\int_{-1}^0(6-6x^2)dx +\int_0^1(6-12x+6x^2)=\\&\\&\left[6x-2x^3 \right]_{-1}^0+\left[6x-6x^2+2x^3 \right]_0^1=\\&\\&0-0+6-2+6-6+2=6\end{align}$$:
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¡Gracias! Muchas gracias enserio me saco de muchas dudas, quisiera saber si no es mucha molestia como me ilustre más en este tema quizás libros o blogs donde pueda encontrar ayuda acerca de este tema muchas gracias en verdad me ha sido de gran ayuda.
Yo no te diría ningún libro o blog en especial. Todo lo que se sobre integrales viene de los estudios que hice y cuando tengo que consultar algo porque no me acuerdo lo busco en el libro Calculo Diferencial e Integral de Piskunov, pero es porque es el libro que yo tengo en papel, pero si tuviera otro te recomendaría ese otro seguramente. Y luego lo de calcular los extremos y funciones extremo se necesitan en las integrales dobles o triples es algo que se aprende con la experiencia y solucionar muchos ejercicios. Y lo de los cambios de variable de las integrales múltiples como a coordenadas esféricas o cilíndricas imagino que en cualquier libro o artículo que busques con esas palabras lo encontrarás. Yo es que no tengo ningún sitio favorito, cuando necesito algo lo busco y la siguiente vez lo encuentro en otro sitio y nunca me acuerdo de dónde lo encontré la vez anterior.
