1.- ¿Esta situación cumple con los supuestos de la distribución Hipergeométrica?
El Baloto, es la lotería en línea de Colombia, supervisado por ETESA (Empresa territorial para la salud). Es un juego que consiste en acertar 6, 5, 4 o 3 números en cualquier orden de una matriz del 1 al 45; El jugador señala en un tarjetón los 6 números que escoge. Los números están representados en 45 balotas numeradas del 1 al 45. Cada número aparece una sola vez y las balotas ganadoras se seleccionan sin reemplazo. El premio acumulado se entrega a quien haga coincidir los seis números.
INFORME A PRESENTAR: Presente un informe en el que como mínimo incluya:
1.- ¿Esta situación cumple con los supuestos de la distribución Hipergeométrica? Identifíquelos (Sugerencia: Divida los 45 números en dos grupos: ganadores y no ganadores)
2.- Usando la distribución de probabilidad hipergeométrica determinar la probabilidad de que el jugador acierte los 6 números
3.- La empresa encargada del sorteo informa que la probabilidad de que coincidan todos los números es de 1 en 8145060. ¿Qué significa esto en términos de probabilidad? Coincide esto con su respuesta anterior. El sorteo también otorga un premio si el jugador hace coincidir 3, 4 o 5 de los números ganadores
4) Calcule la probabilidad, para hacer coincidir 3 de los 6 números ganadores.
5) Calcule la probabilidad de que coincidan 4 de los 6 números ganadores
6) Calcule la probabilidad de que coincidan 5 de los 6 números ganadores
7) Con base en los resultados obtenidos, ¿usted invertiría dinero en el BALOTO?
1 Respuesta
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¡Hola Milena!
1) Si en el apartado 2 nos dicen que calculemos la probabilidad usando la distribución hipergeométrica sera porque este apartado es verdadero, luego a intentar demostrarlo.
En la distribución hipergeométrica hay una población N y una cantidad d de elementos de ella que cumplen una propiedad. Entonces nosotros extraemos una muestra n de la población y la distribución nos da la probabilidad que hayamos elegido x elementos con la propiedad.
La población N son los 45 números.
Los elementos que cumplen la propiedad son los 6 que han salido en el sorteo.
La muestra que tomamos es una muestra de 6 números.
Y la probabilidad que nos da la distribución hipergeométrica es la de tener de 0 a seis ganadores en la muestra.
2)
Dicha probabilidad viene dada por esta fórmula:
$$\begin{align}&P(x)=\frac{\binom dx·\binom{N-d}{n-x}}{\binom{N}{n}}\\&\\&\text{La de acertar 6 es}\\&\\&P(6)=\frac{\binom 66\binom{45-6}{6-6}}{\binom{45}{6}}=\frac{1·\binom{39}{0}}{\binom{45}{6}}=\frac{1}{\frac{45!}{39!·6!}}=\\&\\&\frac{39!·6!}{45!}=\frac{6!}{45·44·43·42·41·40}= \frac{720}{5864443200}=\\&\\&=\frac{1}{8145060}=1.22773804\times 10^{-7}=0.000000122773804\end{align}$$3) En términos de probabilidad significa
P(6) = 1/8145060 = 1.22773804 · 10^(-7)
Coincide a la perfección porque llegué a esa misma fracción.
4) Usaremos la fórmula que enunciábamos antes pero ahora con x=3
$$\begin{align}&P(x)=\frac{\binom dx·\binom{N-d}{n-x}}{\binom{N}{n}}\\&\\&\text{La de acertar 3 es}\\&\\&P(3)=\frac{\binom 63\binom{45-6}{6-3}}{\binom{45}{6}}=\frac{\frac{6·5·4}{3!}·\binom{39}{3}}{\binom{45}{6}}=\\&\\&\frac{20·\frac{39·38·37}{3!}}{\frac{45·44·43·42·41·40}{6!}}=\frac{20·9139}{8145060}=\frac{182780}{8145060}=\\&\\&0.02244059589\\&\\&\\&5)\text{La de acertar 4 es}\\&\\&P(4)=\frac{\binom 64\binom{45-6}{6-4}}{\binom{45}{6}}=\frac{\frac {6·5}{2}·\binom{39}{2}}{\binom{45}{6}}=\\&\\&\text{el combinatorio 45 sobre 6 ya esta calculado }\\&\text{dos veces antes, lo pongo directo}\\&\\&\frac{15·\frac{39·38}{2}}{8145060}=\frac{15·741}{8145060}=\frac{11115}{8145060}=\frac{741}{543004}=\\&\\&0.001364630831\\&\\&\\&6) \text{ La de acertar 5 es}\\&\\&P(5)=\frac{\binom 65\binom{45-6}{6-5}}{\binom{45}{6}}=\frac{6·\binom{39}{1}}{\binom{45}{6}}=\\&\\&\text{el combinatorio 45 sobre 6 ya esta calculado }\\&\text{dos veces antes, lo pongo directo}\\&\\&\frac{6·39}{8145060}=\frac{234}{8145060}=\frac{39}{1357510}=\\&\\&2.872807014·10^{-5}\end{align}$$7)
Con base a los resultados no, porque acertar 6 es casí imposible y acertar 5 medio imposible, tampoco es fácil acertar 4 y acertar 3 con suerte una vez al año si juegas todas las semanas.
Pero aparte de las probabilidades hay que tener en cuenta lo que no se reparte en premios porque se lo lleva el estado, y eso puede ser el 45% o más, y después los impuestos si te tocara un premio gordo. Luego no, no jugaría. Solo cuando hay un bote gordísimo a lo mejor me da por jugar un poquito.
Y eso es todo, salu_dos.
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¡Gracias!
Mil gracias profesor Valero, le agradezco su valiosa e importante ayuda es usted muy amable, mil gracias de nuevo sus explicaciones son muy claras y entendibles, y además completas. Mil gracias.
Nunca me lo habían agradecido tanto.
