Calcular la integral de la función sobre la región dada f(x,y)=x/y,R esta delimitada por las rectas y=2x,x=1 y x=2

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¡Hola José!

Esas tres rectas no determinan un triángulo ya que dos de ellas son paralelas. Se necesitaría otra recta más para definir una región. Podria ser y=0 por ejemplo con lo cual sería la parte positiva de la figura. Pero eso es mucho suponer, revisa el enunciado para ver si dice algo más, o hay alguna figura o lo que sea que defina bien el dominio de integración.

Salu_dos.

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Sí que puede ser la acotación que falta la recta y=0, sería una integral impropia que habría que determinar si es convergente o no es convergente, pero no hay ningún problema en ello.

Vamos a hacerla en concreto con la recta y=0 como la que cierra el recinto.

$$\begin{align}&A=\int_1^2\int_0^{2x} \frac xydydx=\\&\\&\text{por definición de integral impropia}\\&\\&\int_1^2\left(\lim_{h\to 0^+} \int_h^{2x}\frac xy\;dy\right)dx=\\&\\&\int_1^2\left(\lim_{h\to 0^+} x·ln|y|\bigg|_h^{2x}  \right)dx=\\&\\&\int_1^2(x·ln(2x)-x·(-\infty))dx =\int\infty \;dx=\infty\end{align}$$

Y en este caso concreto el area encerrada sería infinita, pero hay casos en que no sucede eso.  Cuando la y está en el denominador la integral x/y^n

es convergente si n<1 y divergente si n>=1

Así que por ejemplo si la función hubiera tenido raiz cuadrada de y en el denominados habríamos tenido un área finita.

Pero todo esto depende de si habéis dado ya las integrales impropias o no y de lo que os haya enseñado el profesor. T sabrás si lo que he hecho lo habéis hecho o te suena a chino. En todo caso el enunciado es incorrecto y puede que la recta que falta sea otra con la cual sí que haya un área.

Saludos.

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¡muchas Gracias! , mas sin embargo todo el punto escrito es a si¡ en los siguientes ejercicios de la integral de f en la región dada R
a) f (x, y) = x / y, R está delimitada por las líneas y = x, y = 2x, x = 1 y 2 = x, primero cuadrante. estoy viendo integrales dobles de calculo multivariado muchas gracias :D

Pero este que dices ahora sí se puede resolver porque has añadido la recta y=x. En el enunciado de esta pregunta no está y no estaba definido el dominio de integración.

a listo gracias discúlpeme, no me había fijado entonces, ¿vuelvo a ponerla como pregunta? 

:)

Hola! José

Te comento que las tres rectas que mencionas no terminan de definir claramente un dominio que permita integrar la funcion f(x, y).

Por cierto, y corrigiendo el comentario previo del profe Valero, la delimitación que te está faltando no podría ser la recta "y=0" pues sobre dicha recta no está definida la función f(x, y) = x/y.

Veamos que tienes para acotar: ¿Sí?...

Saludos, Mario R.

:)

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