En probabilidad me piden que resuelva el siguiente ejercicio de variable aleatoria
El número total de horas, medidas en unidades de 100 horas, que una familia utiliza una aspiradora en un periodo de un año es una variable aleatoria continua X que tiene la siguiente función de densidad:
f(x) = { x, 0<x<1
2-x, 1 (menor o igual que) x <2
0, en otro caso.}
Calcule la probabilidad de que en un periodo de un año una familia utilice su aspiradora
a) Menos de 120 hora
b) e
Ntre 50 y 100 horas.
PDT: he encontrado en ejemplos de la solución de dicho ejercicio en otros sitios web, pero no comprendo cómo hacerlo, no comprendo de donde salen algunos términos y valores, por ejemplo (anexo imagen), no comprendo porqué ni de donde salen el: 1/2 y el: x^2 tampoco el porqué se divide todo entre 100. Les agradezco que me puedan brindar una ayuda. Un saludo.
He tomado la imagen de: http://es.slideshare.net/dianastefania3/taller-3-22811364
1 Respuesta
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¡Hola Lecarpio!
Cuando te dan la función de densidad la función de distribución se calcula así:
$$\begin{align}&P(x)=\int_{-\infty}^x f(t)\;dt\\&\\&a) \text{ La probabilidad de } X\le 120\;es\;P(1.20)\\&\text{ya que en la función de densidad x se mide}\\&\text{unidades de 100 horas}\\&\\&P(1.20)=\int_{-\infty}^{1.2}f(t)\;dt=\\&\\&\text{que debe integrarse en diversos trozos}\\&\\&\int_{-\infty}^0 0dt +\int_0^1 t\;dt+\int_1^{1.20}(2-t)dt=\\&\\&\text{la primera nunca se pone porque vale 0, pero existe}\\&\\&0+\frac {t^2}2\bigg|_0^1+\left[2t-\frac{t^2}2 \right]_1^{1.2}=\frac 12-0+2.4-\frac{1.44}{2}-2+\frac 12=\\&\\&1.4-0.72 = 0.68\\&\\&\\&\\&b) \text{ La probabilidad de usarla entre 50 y 100 es}\\&\\&P(1)-P(0.5) =\\&\\&\text{ahora ya no pondré la integral donde la función vale 0}\\&\\&\int_0^1 f(t)dt - \int_0^{0.5} f(t) dt =\\&\\&\text{dividimos la primera en dos trozos}\\&\\&\int_0^{0.5} f(t) dt+\int_{0.5}^1f(t)dt-\int_0^{0.5}f(t)dt=\\&\\&\int_{0.5}^1f(t)dt\\&\\&\text{En la realidad no hacemos este paso previo, sino que}\\&\text{se da ya por sabido y lo que ponemos directamente es}\\&\\&P(0.5 \le X\le 1)=\int_{0.5}^1f(t)dt=\int_{0.5}^1t\;dt=\frac{t^2}{2}\bigg|_{0.5}^1=\\&\\&\frac 12-\frac{0.5^2}{2}=\frac{1-0.25}{2}=\frac{0.75}{2}=0.375\end{align}$$:
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