Como calcular la siguiente integral de este ejercicio

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Hola Luis!

Saludos

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¡Hola Luis!

Hay que conseguir que el radicando sea un cuadrado, así desaparecerá la raíz cuadrada. Para ello fijémonos en esta identidad trigonométrica.

$$\begin{align}&1+tg^2x=sec^2x\implies\\&tg^2x = sec^2x-1\\&\\&\text{Y eso nos da la pista del cambio que hay que hacer}\\&\\&\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2-7}}=\\&\\&x= \sqrt 7·sec\,t\implies t=arc sec \frac{x}{\sqrt 7}\\&dx= \sqrt 7· sect\,·tg\,t\;dt\\&\\&=\int \frac{\sqrt 7·sect·tg\,t}{7sec^2t \sqrt{7sec^2t-7}}dt=\\&\\&\int \frac{\sqrt 7·sect·tg\,t}{7sec^2t \sqrt 7 \sqrt{sec^2t-1}}dt=\\&\\&\int \frac{\sqrt 7·sect·tg\,t}{7sec^2t \sqrt 7\,tg\,t}dt=\\&\\&\frac 17\int \frac{dt}{sec \;t}=\frac 17\int cost=\frac 17 sent+C\\&\\&\frac 17 sen \left(arc sec \frac{x}{\sqrt 7}\right)+C=\\&\\&\frac 17 sen \left(arc \cos \frac{\sqrt 7}{x}\right)+C=\\&\\&\frac 17 sen\left( arc sen \sqrt{1-\frac{7}{x^2}} \right)+C=\\&\\&\frac 17 \sqrt{1-\frac{7}{x^2}}+C\end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido, no olvides valorar la respuesta.

No creo que exista eso del rectángulo asociado, si acaso podría ser triángulo rectángulo asociado pero yo no lo he usado nunca, la integral se ha podido hacer sin usarlo.

Saludos.

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