Tengo que estudiar la continuidad de f(x)

1) Definiste mal la función, ya que para x=0 vale -1 (porque pusiste el signo <=) y 0 (segunda llave). Supongo que la función vale -1 para x<0 y si es así entonces tenemos que la función tiene una discontinuidad en x=0 ya que los valores de la función no coinciden con los límites laterales de la misma

2) Las demostraciones teóricas no son mi fuerte, pero veamos. Primero creo que tipeaste mal (porque apareció f(y)) y en realidad lo que dice el enunciado es s(x+y)=s(x)+s(y)

Si este es el caso, entonces si suponemos que s(x) es la función del punto 1) tenemos que

s(0) = 0

Por otro lado, tenemos que

s(0) = s(-1 + 1) = s(-1) + s(1) = -1 + 1 = 0

Por lo cual NO es cierto el planteo, ya que en esta función se cumple que s(x+y) = s(x)+ s(y), pero claramente esa función NO es continua en x=0

3) Para que sea continua en x=2 (para los menores será seguro porque es el polinomio x^2), entonces lo que tiene que pasar es que los límites laterales coincidan con el valor de la función en el punto.

f(2) = 2^2 = 4

El límite "por izquierda" coincide pues es el la misma función, lo que debe pasar es que coincida el límite "por derecha" y esto significa que

3*2 + a = 4

a = 4 - 6

a = -2

Por lo tanto para que sea continua, la función será:

f(x) = { x^2..........si x <= 2

           {3x-2.........si x > 2