Demostrar que 4x^2 + 9y^2 + 24x + 36y + 36=0

;)
Hola Cielito!

Agrupando términos:

$$\begin{align}&(4x^2-24x)+(9y^2+36y)+36=0\\&\\&completando \ cuadrados:\\&\\&4(x^2-6x)+9(y^2+4y)+36=0\\&4(x-3)^2-36+9(y+2)^2-36+36=0\\&trasponiendo:\\&4(x-3)^2+9(y+2)^2=36\\&dividiendo  \  por \ 36:\\&\frac{(x-3)^2}{9}+\frac{(y+2)^2}{4}=1\\&a=3\\&b=2\\&c=\sqrt{a^2-b^2}= \sqrt 5\\&\\&Centro (3,-2)\\&Focos:\\&(3+\sqrt 5,-2)\\&(3-\sqrt 5,-2)\\&\\&Vértices:\\&(3+3,-2)=(6,-2)\\&(3-3,-2)=(0,-2)\\&\\&\end{align}$$

graficando:

·

·

¡Hola Cielito!

Vamos a completar cuadrados. Se puede sacar factor común al principio o después, yo lo hago después.

$$\begin{align}&4x^2+24x +9y^2+36y+36=0\\&\\&(2x+6)^2-36+(3y+6)^2-36+36=0\\&\\&4(x+3)^2+9(y+2)^2=36\\&\\&\frac{(x+3)^2}{9}+\frac{(y+2)^2}{4}=1\\&\\&\text{Responde al modelo de una elipse}\\&\\&\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1\\&\\&\text{es una elipse horizontal por ser mayor}\\&\text{el semieje en x}\\&\\&1)  \text{ El centro es }(h,k)=(-3,-2)\\&\\&2)  \text{ La semidistancia focal en la elipse es}\\&c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt 5\\& \text{debemos medirla desde el centro en horizontal}\\&F_1=(-3- \sqrt 5, -2)\\&F_2=(-3+\sqrt 5, -2)\\&\\&3)\text {Los vértices se obtienen sumando los semiejes}\\&\text{al centro, cada uno horizontal o verticalmente}\\&V_1=(-3-3,-2) = (-6,-2)\\&V_2=(-3+3,-2) = (0,-2)\\&V_3=(-3,-2-2) = (-3,-4)\\&V_4=(-3,-2+2)=(-3,0)\\&\\&\end{align}$$

Y esta es la gráfica:

Y eso es todo, saludos.

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