Anónimo
¿Cuál es el resultado de este limite?
Lim cuando x->0 de x*ln(1+x)/1-cosx
Por favor, es urgente, me harían un gran favor.
3 Respuestas
Respuesta de Lucas m
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;)
Hola anónimo!
Entiendo que te has dejado un paréntesis en el denominador:
$$\begin{align}&\lim_{x\to 0} \frac{xln(1+x)}{1-cosx}=\frac{0·ln1}{1-1}=\frac{0}{0}=L'Hopital=\\&\\&\lim_{x\to 0}\frac{1·ln(1+x)+x·\frac{1}{1+x}}{senx}=\frac{0+\frac{0}{1}}{0}=\frac{0}{0}=L'Hopital=\\&\\&\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{1+x}+\frac{1+x-x}{(1+x)^2}}{cosx}=\lim_{x\to 0}\frac{1+x+1}{(1+x)^2cosx}=\frac{2}{1·1}=2\\&\\&\\&\end{align}$$saludos
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;)
;)
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Anónimo!
$$\begin{align}&\lim_{ x\to 0} \frac{x·ln(1+x)}{1-cosx}=\frac{0·0}{0}=\\&\\&\text{Aplicamos la regla de l'Hôpital derivando}\\&\text{numerador y denominador por separado}\\&\\&\lim_{ x\to 0}\frac{ln(1+x)+\frac{x}{1+x}}{senx}= \frac{0+0}{0}=\\&\\&\text{Aplicamos de nuevo la regla}\\&\\&\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{1+x}+\frac{1+x-x}{(1+x)^2}}{cosx}=\\&\\&\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{1+x}+\frac{1}{(1+x)^2}}{cosx}=\frac{1+1}{1}=2\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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Amónimo, deberías valorar a todos con Excelente, nunca sabes cuál te podría ayudar en el futuro y no quiera hacerlo si haces estas discriminaciones.
Respuesta
No aclaras nada, así que voy a resolverlo de la forma más "cómoda", dicho esto
$$\begin{align}&\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot ln(1+x)}{1- \cos x} =\frac{0}{0}\\&\text{Esta indeterminación, se puede "salvar" usando L'Hopital, sabiendo que}\\&\lim_{x \to \alpha} \frac{f(\alpha)}{g(\alpha)} =\frac{0}{0} \lor \frac{\infty}{\infty} \Rightarrow\lim_{x \to \alpha} \frac{f(\alpha)}{g(\alpha)} =\lim_{x \to \alpha} \frac{f'(\alpha)}{g'(\alpha)} \\&\text{En este caso}\\&\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot ln(1+x)}{1- \cos x} =\lim_{x \to 0} \frac{ln(1+x)+\frac{x}{1+x}}{1- (-sen x)} = tex{ (haciendo abuso de notación)}\\&\frac{ln(1)+\frac{0}{1+0}}{1+sen 0)} =\frac{0}{1} = 0\end{align}$$
Erré un paso en l'hopital ;(
$$\begin{align}&\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot ln(1+x)}{1- \cos x} =\lim_{x \to 0} \frac{ln(1+x)+\frac{x}{1+x}}{- (-sen x)} = \frac{0}{0}\\&\text{Nuevamente L'Hop}\\&\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}+\frac{1+x-x}{(1+x)^2}}{\cos x} = \text{ (Acomodando expresiones)}\\&\frac{\frac{1}{1+x}+\frac{1}{(1+x)^2}}{\cos x} =\frac{1+1}{1}=2\end{align}$$