Hallar la circunferencia y parábola, secciones. Analítica.
Cualquier sección de un espejo parabólico formada al pasar un plano a través del eje del espejo es un segmento de una parábola. La altura del segmento es 12 cm y la longitud de la base es 18cm. Una sección del espejo formada por un plano perpendicular a su eje es un círculo.
Encontrar la circunferencia de la sección plana circular si el plano perpendicular al eje está a 3 cm del vértice.
1 respuesta
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¡Hola Llaq!
Primero vamos a calcular la ecuación de la parábola. El espejo lo supondremos puesto hacia abajo y centrado por supuesto en el eje Z.
La altura de 12 m indica que el vértice de la parábola está en el punto
(0,0,12)
Elegimos una parábola que es el corte con el plano XZ de forma que en y valen siempre 0 los puntos de ella.
Pues por tener el vértice a altura 12, y estar boca abajo y centrado en el eje Z su ecuación es
z = 12 - kx^2
Como la longitud de la base es 18cm deja 9cm a cada lado, luego la parábola pasa por los puntos (9,0,0) y (-9,0,0)
Calculamos k de modo que pase por el punto (9,0,0)
0 = 19 - k · 9^2
81k = 19
k = 19/81
Luego ya tenemos la ecuación de la parábola
z = 12 - (19/81)x^2
Cuando el plano z=c esté a tres cm del vértice, como el vértice es
(0,0,12) será c =9
Luego el plano será z= 9
Vamos a calcular donde corta ese palano a nuestra parábola
9 = 12 - (19/81)x^2
(19/81)x^2 = 3
x^2 = 3·81/19 = 243/19
x = +- raíz(243/19)
Luego es una circunferencia con centro en (0,0,9) contenida en el plano z=9 y con radio raíz(243/19) Su ecuación se compone de estas dos:
x^2+y^2 = 243/19
z=9
O si quieres la puedes expresar como
$$\begin{align}&f(t) = \left(\sqrt{\frac {243}{19}}cost, \sqrt{\frac {243}{19}}sent,9 \right)\quad t\in[0,2\pi)\end{align}$$:
:
Hola Valero, muchas gracias por responder.
La verdad es que me he perdido un poco.
No veo de dónde sale el 19, (me parece que lo has cambiado por el 12) creo que ha sido un error al escribir y como está al principio ha alterado todo el proceso.
No tendría mayor importancia si no fuera porque esa ecuación no la conozco.
Cuando dices "... su ecuación es z = 12 - kx^2 ...", yo utilizo x^2 = 4 k z , si despejo k ---->
k= (x^2) / 4 z. ¿Estoy usando una ecuación equivocada?
Si se me coló un 19 en lugar de un 12. Esta es la continuación:
Calculamos k de modo que pase por el punto (9,0,0)
0 = 12 - k · 9^2
81k = 12
k = 12/81 = 4/27
Luego ya tenemos la ecuación de la parábola
z = 12 - (4/27)x^2
Cuando el plano z=c esté a tres cm del vértice, como el vértice es
(0,0,12) será c =9
Luego el plano será z= 9
Vamos a calcular donde corta ese palano a nuestra parábola
9 = 12 - (12/27)x^2
(12/27)x^2 = 3
x^2 = 3·27/12 = 27/4
x = +- raíz(27/4) = 3·raiz(3)/2
Luego es una circunferencia con centro en (0,0,9) contenida en el plano z=9 y con radio 3·raíz(3)/2 Su ecuación se compone de estas dos:
x^2+y^2 = 27/4
z=9
O si quieres la puedes expresar como
$$\begin{align}&f(t) = \left(\frac{3 \sqrt 3}{2}cost, \frac{3 \sqrt 3}{2}sent,9 \right)\quad t\in[0,2\pi)\end{align}$$·
Yo creo que la ecuación que pones
x^2 = 4 k z
No se corresponde con el enunciado, no sé si tú tendrás el dibujo. Pero lo que yo creo por lo que dicen es que el espejo con forma de paraboloide es como si fuese un símbolo de intersección ∩ y cuando hablan de base hablan del plano z=0, cuando se corta al plano z=0 la abertura de la parabola es 18 y la altura 12 y a mi solo se me ocurre que es como te digo y entonces la ecuación de parábola tiene que ser de la forma
z= 12 - kx^2
o bien
x^2 = c(12-z)
La parábola no tiene el vértice en (0,0,0) que sería tal como lo haces tú. Lo tiene en (0,0,12)
Ahora est´claro.
¡Gracias!
Hola Valero.
No sé si sigues este tema.
Quería hacer una observación más.
Después de revisar muchas veces y probar y probar para llegar al mismo resultado que tú has conseguido, he llegado a pensar en que puede haber un error más.
Cuando yo digo que utilizo la ecuación x²= 4kz es verdad que se refiere a una parábola con vértice (0,0,0) (En este caso (0,0) si no se tiene en cuenta el eje Y).
Entonces, para este caso la ecuación quedaría (x-0)²= 4k(z-12) (En la parte final has puesto C= 4p), pero al inicio dices "...
0 = 12 - k · 9^2 (creo que aquí has restado k*9² de 12 pero, esto es un producto)
81k = 12
k = 12/81 = 4/27 ..."
Si yo utilizo:
(x-0)²= 4k(z-12) -----> (9)² = 4k(0-12) -----> k = -81/48 = -27/16
Lamentablemente este ejercicio es propuesto y en libro no viene la solución, así que sigo con la duda de si lo estoy analizando bien.
Una vez más gracias por tu tiempo.
Mi forma de ecuación es
z = 12 - kx^2
para que pase por (9,0,0)
0 = 12 - k·9^2
81k = 12
k=12/81 = 4/27
Con ello mi ecuación es
z = 12 - (4/27)x^2
-----
Tu forma de ecuación es
(x-0)^2= 4k(z-12)
Para pasar por (9,0,0) se cumple
9^2 = 4k(-12)
k = -81/48 = -27/16
con lo cual tu ecuación queda
x^2 = 4(-27/16)(z-12)
x^2 = -(27/4)(z-12)
Y si la queremos poner en función de x es
-(4/27)x^2 = z-12
z = 12 - (4/27)x^2
Que es exactamente la misma que obtuve yo.
Sa lu dos.
Hola Valero.
No he podido añadir ningún comentario estos días.
Creo que ya sé por qué tengo un resultado diferente.
Cuando has dicho "... en función de x : z = 12 - (4/27)x^2..."
Partiendo de esta ecuación he visto que cuando le has dado valores has hecho :
".... 9 = 12 - (12/27)x^2 ...", entonces aquí has cambiado el 4 por un 12 .
Al hacer 9 = 12 - (4/27)x^2 el resultado sí coincide
x²= 81/4 ----> r= 9/2 .
Luego la cincunferencia es 9 π y su área π*81/4 .
Este tipo de problemas son los mejores para aprender.
Un saludo y gracias.
Sí, tienes razón, estuve bastante despistado en las cuentas, me parece que esta pregunta la respondí cuando ya yendría que haber llevado varias horas en la cama pero no iba.
Sa lu dos.
