. Determinar el área de la región limitada por la curva

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¡Hola Diego!

Cuando nos dan una función, el limite inferior el eje X y dos rectas verticales el área es la integral, siempre que en el intervalo de integración la función sea siempre positiva o siempre negativa.

Lo que pasa es que me parece que esta corta el eje X porque en x=1

1-2-5+6=0

Y si aplicamos Ruffini para dividir por (x-1) quedará

x^2 - x - 6

que es

(x-3)(x+2)

y los puntos x=3 y x=-2 ya no cortan dentro del intervalo de integración

Luego debemos dividir la integral en dos trozos

$$\begin{align}&A=\left|\int_{-1}^1(x^3-2x^2-5x+6)dx  \right|+\left|\int_1^2(x^3-2x^2+5x+6)dx\right|=\\&\\&\left|\left[ \frac {x^4}4-\frac 23x^3-\frac 52x^2+6x \right]\right|_{-1}^1+\left|\left[ \frac {x^4}4-\frac 23x^3-\frac 52x^2+6x \right]\right|_{1}^2=\\&\\&\left|\frac 14-\frac 23-\frac 52+6-\frac 14-\frac 23+ \frac 52 +6  \right|+\\&\left|4-\frac{16}3-10+12-\frac 14+\frac 23+\frac 52-6  \right|=\\&\\&12-\frac 43+\left|-\frac{14}3-\frac 14+\frac 52  \right|=\\&\\&\frac {32}3+\left|\frac{-56-3+30}{12}  \right|=\frac{32}3+\frac {29}{12}=\frac{128+29}{12}=\frac{157}{12}\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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