Calcular la superficie generada al rotar la curva

;)
Hola Diego!

El recinto es:

y la superficie de revolución generada:

cuya superficie se calcula con la integral

$$\begin{align}&A=2 \pi \int_1^3y \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}=\\&\\&2 \pi \int_1^3 2x^2 \sqrt{1+(4x)^2} dx=\\&\\&4 \pi \int_1^3 x^2 \sqrt{1+ 16x^2}dx=\\&\\&1011.566 \ u^2\end{align}$$

esa integral es bastante compleja.

El resultado lo he sacado con wolfram

Saludos

;)

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¡Hola Anónimo!

Efectivamente, es una integral bastante compleja si no se usan funciones hiperbólicas, pero con funciones hiperbólicas es sencilla.

$$\begin{align}&4\pi \int_1^3x^2 \sqrt{1+16x^2}dx\\&\\&x=\frac{sh\,t}{4}\implies t=arg\,sh\,4x\\&\\&dx=\frac{ch\,t}{4}dt\\&\\&=4\pi\int_{arg\, sh\, 4}^{arg\,sh\,12}\frac{sh^2t}{16} \sqrt{1+sh^2t}\frac{ch\,t}{4}dt=\\&\\&\frac \pi{16}\int_{arg\, sh\, 4}^{arg\,sh\,12}sh^2t·\sqrt{ch^2t}·ch\,t\;dt=\\&\\&\frac \pi{16}\int_{arg\, sh\, 4}^{arg\,sh\,12}sh^2t·ch^2t\;dt=\\&\\&\frac \pi{16}\int_{arg\, sh\, 4}^{arg\,sh\,12}\frac{sh^22t}{4}\;dt=\\&\\&\frac \pi{64}\int_{arg\, sh\, 4}^{arg\,sh\,12}\left(-\frac 12+\frac{ch \,4t}{2}\right)\;dt=\\&\\&\frac \pi{64}\left[-\frac t2+\frac{sh\,4t}{8}  \right]_{arg\, sh \,4}^{arg\, sh \,12}=\\&\\&\\&\end{align}$$

Y este cálculo final se puede hacer tranquilamente con una calculadora que tenga las funciones hiperbólicas, pero lo haré con el programa Maxima.

Y eso es todo.

Sa lu dos.

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