Debo usar inducción para probar la siguiente integral...
$$\begin{align}& \int_0^\infty x^ne^{-x}dx=n!;n>o\end{align}$$Hola... Pido nuevamente su ayuda... De cierta manera, trabajar con las integrales me va siendo sencillo, el problema es que no se probar por inducción, vaya que el texto ni siquiera habla de eso, he encontrado algo de información pero caso toda en ingles (no se porque), así que recurro nuevamente para darme una idea de como debo proceder con este tipo de problemas...
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¡Hola Ángela!
Se supone que n será un número natural por que se usa en el factorial. No toda propiedad que se cumpla para todos los números naturales tiene que demostrarse por inducción, puede ser que sirva con deducción.
Esa es una integral que se realiza por partes y hay que ejecutarla n veces para resolverla, pienso que tal vez sea más fácil por inducción.
$$\begin{align}&\text{Para n=1 se cumple}\\&\\&\int_0^{\infty}xe^{-x}dx=\\&\\&u= x\qquad\qquad du =dx\\&dv=e^{-x}dx\quad\;\; v=-e^{-x}\\&\\&=-x e^{-x}\bigg|_0^{\infty}+\int_0^{\infty}e^{-x}dx=\\&\\&\lim_{x\to \infty}-xe^{-x}+0 -e^{-x}\bigg|_0^{\infty}=\\&\\&\text{Ese límite es 0 porque las exponenciales crecen más}\\&\text{rápido que las polinómicas. Si no lo tienes claro}\\&\text{puedes usar la regla de l'Hôpital}\\&\lim_{x\to\infty} xe^{-x}=\lim_{x\to\infty} \frac x{e^{x}}=\lim_{x\to\infty} \frac{1}{e^x}=\frac{1}\infty=0\\&\\&=-0+0-(e^{-\infty}-e^{-0})=-(0-1)= 1\\&\\&\text{Supongamos que se cumple para n y veamos}\\&\text{s se cumple para n+1}\\&\\&\int_0^{\infty}x^{n+1}e^{-x}dx=\\&\\&u=x^{n+1}\qquad \quad du =(n+1)x^n\\&dv=e^{-x}dx\qquad v=-e^{-x}\\&\\&=x^{n+1}e^{-x}\bigg|_0^{\infty}+(n+1)\int_0^{\infty}x^ne^{-x}dx=\\&\\&\lim_{x\to\infty}x^{n+1}e^{-x}-0+(n+1)\int_0^{\infty}x^ne^{-x}dx=\\&\\&\text{Como ya decía antes ese límite es 0, si no lo ves claro}\\&\text{puedes aplicar l'Hôpital n+1 veces}\\&\\&(n+1)\int_0^{\infty}x^ne^{-x}dx=\\&\\&\text{Y esa integral vale n! por hipótesis de inducción}\\&\\&=(n+1)n! = (n+1)!\end{align}$$Y con eso queda probada la inducción.
Sa lu dos.
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