¿Cómo demostrar que los siguientes espacios son isomorfos?

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¡Hola Mario Alejandro!

Si a un polinomio de grado 5 le obligamos a que valga 0 para un determinado valor c podremos darle cualquier valor a los coeficientes de x^5, x^4, x^3, x^2 y x, pero el término libre será único, será el unico término libre que haga P(c)=0

En concreto si

$$\begin{align}&P(x)=a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\\&\\&P(c)=a_5c^5+a_4c^4+a_3c^3+a_2c^2+a_1c+a_0=0\\&\\&a_0 = -a_5c^5-a_4c^4-a_3c^3-a_2c^2-a_1c\\&\\&\text{luego podemos describirlo solo con los 5 coeficentes de la x}\\&\\&W \sim \{(a_5,a_4,a_3,a_2,a_1)|a_i\in \mathbb R\}\sim \mathbb R^5\\&\\&\text{Mientras que los polinomios de P4 pueden tomar sus 5}\\&\text{coeficientes si}\text{n ninguna restricción}\\&\\&P_4\sim\{(a_4,a_3,a_2,a_1,a_0)|a_i\in \mathbb R\}\sim \mathbb R^5\end{align}$$

Luego ambos son isomorfos a R^5 y por tanto isomorfos entre si.

O si quieres puedes establecer directamente el isomorfismo entre ellos

$$\begin{align}&f(a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0)=a_5x^4+a_4x^3+a_3x^2+a_2x+a_1\\&\\&f(p(x)) = \frac{p(x)-a_0}{x}\\&\\&\text{Es homomorfismo}\\&f(p(x)+q(x)) = \frac{p(x)+q(x)-(a_{p0}+a_{q0})}{x}\\&f(p(x) )+f(q(x)) =  \frac{p(x)-a_{p0}}{x}+\frac{q(x)-a_{q0}}{x}=\frac{px)+q(x)-(a_{p0}+a_{q0})}{x}\\&\\&\text{Es inyectivo}\\&f(p(x))= f(q(x))\\&\\&\frac{p(x)-a_{p0}}{x} =\frac{q(x)-a_{q0}}{x}\\&\\&p(x)-a_{p0}=q(x)-a_{q0}\\&\\&\text{Y para que esto se cumpla debe ser}\\&a_{p\,i}=a_{q\,i}   \qquad 0\le i\le 5\\&\text{luego}\\&p(x)=q(x)\\&\\&\text{Es sobreyectivo}\\&\\&\text{Sea }q \in P_4,  \;tomo\;  r\in P_5\\&\\&r= x·q\\&calculo \\&a_{p0}=r(c)\\&\text{y tomo}\\&p=x·q-a_{p_0}\\&\\&\text{que pertenece a W porque}\\&grado(p) \le 5\\&y\\&p(c)=x·q(c)-a_{p0}=r(c)-a_{p0}= a_{p0}-a_{p0}=0\\&\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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