Tengo una duda sobre ecuación diferencial
Demostrar que:
(K es constante)
$$\begin{align}&y=e^{-x}\cdot \left(x+k\right) \end{align}$$es una solución de
$$\begin{align}&y´+y=e^{-x}\end{align}$$
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Matías!
Debemos sustituir en la ecuación diferencial los valores concretos de la función respuesta y su derivada y ver si se cumple la ecuación.
$$\begin{align}&y=e^{-x}(x+k)\\&\\&y'= -e^{-x}(x+k) + e^{-x}=e^{-x}(1-x-k)\\&\\&y+y'=e^{-x}(x+k)+e^{-x}(1-x-k)=\\&\\&e^{-x}(x+k+1-x-k)= e^{-x}\\&\\&\text{Luego se cumple la ecuación diferencial}\\&\\&y+y'=e^{-x}\end{align}$$Y por lo tanto la función que nos dan es solución de la ecuación diferencial.
Y eso es todo, sa lu dos.
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Respuesta de antoniomallo
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Más que demostración, una comprobación:
Derivando y con respecto a x tenemos
$$\begin{align}&y'=e^{-x}·(-1)·(x+k)+e^{-x}·1\end{align}$$Entonces
$$\begin{align}&y'+y=-e^{-x}(x+k)+e^{-x}+e^{-x}(x+k)=e^{-x}\end{align}$$