Se que manera se obtiene lo que me piden en este ejercicio de cálculo diferencial?
PROBLEMA 1. Dibuja la gráfica de una función que cumple lo siguiente.
- Esta definida solo para los números positivos entre 0 y 10
- Pasa por los puntos (0,3), (2,5), (9,2)
- Tiene un máximo en (4,8)
- Tiene un mínimo en (8,1)
- En el intervalo (1,3) su segunda derivada es mayor que cero
Después de graficar, responde lo siguiente en función de las propiedades de las derivadas.
- Indica el intervalo donde la función es convexa y explica que significado tiene.
- Indica el intervalo donde la función es cóncava y explica su significado.
2 Respuestas
;)
5.- En el intervalo (1,3) la segunda derivada es mayor que cero quiere decir que es cóncava hacia arriba (U)
Los otros intervalos los he dibujado con rectas con lo cual no es ni cóncavo ni convexo:
Saludos
;)
;)
¡Gracias! Profesor esas son las instrucciones, no había hecho este tipo de ejercicios antes
Como te decía, es muy complicado dar con un polinomio que cumpla todo eso que piden. Lo mejor es hacerla a trozos, si acaso se puede hacer que la función sea suave con un poco de esfuerzo.
Que pase por (0,3) y (2,5) con derivada segunda positiva en (1,3)
Puede ser un polinomio de grado 3 con derivada segunda 0 en x=1
p(x)=ax^3+bx^2+ cx+ d
para pasar por (0,3) ==> d=3
Para pasar por (2,5)
8a+4b+2c +3 = 5
Para derivada segunda 0 en x=1
6a+2b=0
Para mayor 0 tras x=1 ==> a>0
Haciendo sustituciones
b=-3a
8a - 12a + 2c +3= 5
-4a =2-2c
a = (c-1)/2
Hagamos c=3/2 pues ya he visto antes que con c=2 crecía demasiado
El polinomio es
p(x) = (1/4)x^3 - (3/4)x^2 + (3/2)x + 3
lo usaremos en el intervalo [0,3]
·
Ahora preparamos el máximo en (4,8) el mínimo en (8,1) aparte de la derivabilidad en x=3.
La derivada por la izquierda en x=3 es
p'(3) = (3/4)·27 - (3/2)·9 + 3/2 = 33/4
El valor en x=3 es
p(3) = (1/4)27 - (3/4)9 + (3/2)3 + 3 = frac 15/2
Necesitamos la condicion de la derivada en x=3, x=4 y x=8. Y luego que tome valores concretos en esos mismos puntos. ¿Será posible que haga falta un polinomio de grado 5?
p2(x) = ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f
Para que x=3 empalme con p(x)
1) 243a + 81b + 27c + 9d + 3e + f = 15/2
Para que pase por (4,8) y (8,1)
2) 1024a + 256b + 64c + 16d + 4e + f = 8
3) 32768a + 4096b + 512c + 64d + 8e + f = 1
Para que en 3 tenga la misma derivada por la derecha.
p2'(x) = 5ax^4 + 4bx^3 + 3cx^2 +2dx +e
4) 405a + 108b + 27c + 6d + e = 33/4
Para que en x=4 y x=8 la derivada sea nula
5) 1280a + 256b + 48c + 8d + e =0
6) 20480a + 2048b + 192c + 16d + e = 0
Y ahí tenemos el sistema de 6 ecuaciones que no por todo el oro del mundo resolvería a mano. Esto es lo que dice Máxima:
Ya perdonarás que no escriba a mano el polinomio 2, con los coeficientes es suficientea para definirlo. Y ahora viene probarlo porque no tuve en cuenta que el máximo tuviera derivada segunda negativa y el mínimo positiva.
Y esto es lo que ha salido.
Lo siento, no ha salido bien, en (4,8) ha salido un mínimo en vez de un máximo, eso significa que el polinomio debería haber sido de grado 6 par poder elegir el parámetro que faltaba de forma que saliese todo bien. Como puedes comprobar lo que he hecho es mucho más complicado que lo que querían que hicieras. Quédate con la respuesta de Lucas.
Sa_lu_dos.
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