Demostrar que f (z) = 3z^2 + e^(-z) + 4 es una función entera.

·

·

¡Hola Filiberto!

La respuesta depende completamente de lo que hayas estudiado antes.

Un función entera es una función analítica en todos los puntos del plano complejo. Y una función es analítica en un punto si es complejo diferenciable en ese punto. Y la demostración de que es diferenciable en ese punto se suele hacer demostrando que las funciones parte real y parte imaginaria son diferenciables y cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann

$$\begin{align}&f(z)=3z^2+e^{-z}+4\\&\\&Sea\; z= x+iy\\&\\&f(x+iy)= 3(x+iy)^2+e^{-x-iy}+4=\\&\\&3(x^2+2ixy+i^2y^2)+e^{-x}e^{-iy}+4=\\&\\&3x^2+6ixy-3y^2+e^{-x}(\cos(-y)+i·sen(-y))+4=\\&\\&3x^2-3y^2+e^{-x}\cos y+4 +i(6xy-e^{-x}sen\,y)\\&\\&Luego\; f(x+iy)\text{ puesto como suma de funciones}\\&\\&f(x,iy)=u(x,y)+i·v(x,y) \text { es }\\&\\&u(x,y)=3x^2-3y^2+e^{-x}\cos y+4\\&v(x,y) = 6xy-e^{-x}sen \,y\\&\\&\text{no pienso que te pidan demostrar que esas funciones}\\&\text{elementales u(x,y) y v(x,y) son diferenciables. Pero si te lo}\\&\text{piden usa el terorema que son diferenciables si existen}\\&\text{las derivadas parciales y son continuas.}\\&\text{Luego son diferenciables en todo el plano complejo}\\&\\&\text{Y vamos a verificar las condiciones de Cauchy}\\&\text{para todos los puntos del plano complejo }z_0=a+bi\\&\frac{\partial u}{\partial x}(a,b) =\frac{\partial v}{\partial y}(a,b) \quad y\quad \frac{\partial u}{\partial y}(a,b) =-\frac{\partial v}{\partial x}(a,b)\\&\\&\frac{\partial u}{\partial x}=6x -e^{-x}\cos y\\&\frac{\partial v}{\partial y}=6x-e^{-x}cossy\\&\text{se cumple la primera}\\&\\&\frac{\partial u}{\partial y}= -6y-e^{-x}sen\,y\\&\frac{\partial v}{\partial x}=6y+e^{-x}sen\,y\\&\text{y se cumple la segunda que era una igual a la otra por (-1)}\\&\\&\text{Luego f es anaítica en todo } \mathbb C\text{ y por tanto entera}\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

:

: