Como resolver ecuación diferencial de primer orden
Estoy teniendo inconvenientes para resolver esta ecuación
$$\begin{align}&xy´+y^2=1\end{align}$$despeje y probé variables separables
$$\begin{align}&\int \:\frac{dy}{\left(1-y^2\right)}=\int \:\frac{dx}{x}\\&arctg(y)=ln(x)+c\end{align}$$despeje la función de otra forma y probé con ecuaciones exactas con factor integrante
$$\begin{align}&(x)dx+(y^2-1)dy=0\\&factor integrante=\frac{1}{\left(y^2-1\right)}\end{align}$$multiplico el factor en la función y luego calculo integrales para resolver
$$\begin{align}&\frac{x}{\left(y^2-1\right)}dy+1dx=0\\&-x\int \:\frac{1}{\left(-y^2+1\right)}dy=(x)arctg(y)\\&\int \:1dx=x\\&\end{align}$$quedándome como solución
$$\begin{align}&c=x+(x)arctg(y)\end{align}$$mientras que la respuesta debería ser
$$\begin{align}&cx^2=\frac{\left(y+1\right)}{\left(y-1\right)}\end{align}$$no puedo encontrar en que me estaría equivocando...
2 Respuestas
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Matías!
$$\begin{align}&xy'+y^2=1\\&\\&x·\frac{dy}{dx}+y^2=1\\&\\&x \frac{dy }{dx}= 1-y^2\\&\\&\frac{d y}{1-y^2}= \frac{dx}{x}\\&\\&\int \frac{dy}{1-y^2}=ln x+C\\&\\&\frac{1}{1-y^2}= \frac{1}{(1+y)(1-y)}=\frac{a}{(1+y)}+\frac{b}{1-y}=\\&\\&\frac{a-ay+b+by}{1-y^2}=\frac{(b-a)y+(a+b)}{1-y^2}\\&\\&\text{Luego debe ser}\\&b-a=0\implies a=b\\&a+b=1\implies2a=1\implies a=b=\frac 12\\&\\&\frac 12\int \frac {dy}{1+y}+ \frac 12\int \frac{dy}{1-y}=ln\,|x| + ln |C|\\&\\&\frac 12\left[ln|1+y|-ln|1-y| \right]= ln\,|Cx|\\&\\&ln \bigg|\frac{1+y}{1-y}\bigg| ^\frac 12= ln\,|Cx|\\&\\& \left| \frac{1+y}{1-y} \right|^\frac 12= |Cx|\\&\\& \left|\frac{1+y}{1-y}\right| = |C|x^2\\&\\&\end{align}$$Esa es la verdadera solución, lo que pasa es que no se pone porque las expresiones con valor absoluto cuasan pavor y repulsión.
Y eso es todo, saludos.
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