Aplicación de limite a una ecuacion racional

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¡Hola Yuri!

Lo normal es resolver sin la regla de l'Hôpital los límites que pueden resolverse sin ella y reservar esta para los casos más difíciles. Ya que la regla de l'Hôpital se basa en los límites y las derivadas y por lo tanto se estudia más tarde.

$$\begin{align}&L=\lim_{v\to 0}\frac{\sqrt{25+v}-5}{\sqrt{1+v}-1}= \frac{\sqrt {25}-5}{\sqrt 1 -1}=\frac 00\\&\\&\text{El 99% de las veces hay que multiplicar y dividir }\\&\text{por el conjugado del denominador}\\&\\&L= \lim_{v\to 0}\frac{\sqrt{25+v}-5}{\sqrt{1+v}-1}· \frac{\sqrt{1+v}+1}{\sqrt{1+v}+1}=\\&\\&\lim_{v\to 0} \frac{(\sqrt{25+v}-5)(\sqrt{1+v}+1)}{1+v-1}=\\&\\&\lim_{v\to 0} \frac{(\sqrt{25+v}-5)(\sqrt{1+v}+1)}{v}=\\&\\&\text{Ya hemos visto que el denominador se simplificó mucho}\\&\text{Si hacemos lo mismo con el conjugado del numerador}\\&\text{será el numerador el que se simplifique}\\&\\&\lim_{v\to 0} \frac{(\sqrt{25+v}-5)(\sqrt{1+v}+1)}{v}·\frac{(\sqrt{25+v}+5)}{(\sqrt{25+v}+5)}=\\&\\&\lim_{v\to 0} \frac{(25+v-25)(\sqrt{1+v}+1)}{v·\sqrt{25+v}+5}=\\&\\&\lim_{v\to 0} \frac{v·(\sqrt{1+v}+1)}{v·(\sqrt{25+v}+5)}=\\&\\&\lim_{v\to 0} \frac{\sqrt{1+v}+1}{\sqrt{25+v}+5}=\frac{\sqrt 1 +1}{\sqrt {25}+5}= \frac{2}{10}=\frac 15\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo, sa lu dos.

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Hola Yuri.

Sí que puedes utilizar la regla de L'Hopital para resolver este límite, y derivar en el numerador y denominador. Aquí te paso la definición formal del Teorema de L'Hopital para que lo veas más claro:

Sean f y g dos funciones continuas definidas en elintervalo[a,b],derivables en (a,b) y sea c perteneciente a (a,b) tal que f(c)=g(c)=0 y g'(x)≠0 si x≠c.

Si existe el límite L de f'/g' en c, entonces existe el límite de f/g (en c) y es igual a L. Por lo tanto,

$$\begin{align}&\lim_{x\to c}\frac{f}{g}=\lim_{x\to c}\frac{f'}{g'}=L\end{align}$$

Fijémonos en las funciones del numerador y denominador por separado:

-Ambas son funciones continuas en todo su dominio de definición (no son más que raíces cuadradas en esencia). También son derivables.

-Ambas están definidas en el punto v=0. No olvidemos que efectivamente las raíces cuadradas no están definidas en valores negativos en su argumento, pero al sustiruir v=0 en ambas, el argumento es positivo, luego estamos en su dominio de definición.

Se cumplen por tanto todas las hipótesis del Teorema de L'Hopital, y entonces podemos usarlo. Derivando arriba y abajo la fracción queda:

$$\begin{align}&\frac{\frac{df}{dx}}{\frac{dg}{dx}}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{25+v}}}{\frac{1}{2\sqrt{1+v}}}=\frac{\sqrt{1+v}}{\sqrt{25+v}}\end{align}$$

 Evaluando esta fracción en el límite v=0 (simplemente sustituyendo ya que no hay indeterminación):

$$\begin{align}&\lim_{v\to 0}\frac{\sqrt{25+v}-5}{\sqrt{1+v}-1}=\lim_{v\to 0}\frac{\sqrt{1+v}}{\sqrt{25+v}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5}\end{align}$$

Con esto ya hemos terminado el problema.

;)
Hola Yuri!
Si no has dado todavía la Regla de L'Hopital, puedes aplicar el método de multiplicar y dividir por la expresión conjugada de cada radical. Esto es común hacerlo cuando necesitas simplificar expresiones con radicales.

La expresión conjugada es la que cambia el signo central, con lo cual podras aplicar la identidad notable (A+B)(A_B)=A^2-B^2

donde A o B o ambos son radicales:

$$\begin{align}&\lim_{v \to 0} \frac{\sqrt {25+v}-5}{\sqrt{1+v}-1}=\frac{0}{0}=\\&\\&\lim_{v \to 0} \frac{\sqrt {25+v}-5}{\sqrt{1+v}-1}·\frac{\sqrt {25+v}+5}{\sqrt{25+v}+5}·\frac{\sqrt {1+v}+1}{\sqrt{1+v}+1}=\\&\\&\lim _{v\to 0} \frac{(25+v-5^5)(\sqrt {1+v}+1)}{(1+v-1)(\sqrt{25+v}+5)}=\\&\\&\lim_{v \to 0} \frac{v \sqrt {1+v}+1)}{v(\sqrt{25+v}+5}=\\&\\&\lim_{v \to 0} \frac{ \sqrt {1+v}+1}{\sqrt{25+v}+5}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\\&\end{align}$$

saludos

;)

;)