Pruebe que el producto cartesiano de n conjuntos numerables es numerable.
Me pueden ayudar es una pregunta del libro de fundamentos de rolando saenz
1 respuesta
·
·
¡Hola Vanessa!
Haremos primero una aplicación biyectiva de cada conjunto en los números naturales, si algún conjunto es finito será biyectivo con un subconjunto [1, 2, ..., m] de N y si es infinito será biyectivo con N
Cada elemento del producto cartesiano será
b = (a_1, a_2, a_3, ...., a_n)
y tomaremos la suma s_b = a_1 + a_2 + a_3 + ··· + a_n
Los iremos numerando empezando por los que tienen menor suma, dentro de los que tienen igual suma los que tienen menor a_1, si a_1 es también igual los que tienen menor a_2, etc.
De esta forma podemos definir esta aplicación:
(1,1,1, ....,1, 1) ----> 1
ahora los que suman n+1
(1,1,1, ....,1, 2) ----> 2
(1,1,1, ..., 2, 1) -----> 3
(1,1, ..., 2, 1, 1) ----> 4
....
(2,1,1, ..., 1, 1) ----> n+1
ahora los que suman n+2
(1,1,1, ..., 2,2) ----> n+2
(1,1,1, ... 2, 1, 2) ---> n+3
...
Dado un elemento cualquiera del producto cartesiano la suma de sus cifras será un número m. Las formas de obtener los números con suma menor que m como suma de n elementos son finitas, luego más pronto o más tarde llegaremos a los números cuya suma sea m y después a aquel que coincida con el elemento. Es una relación inyectiva por definición de un conjunto en N luego el conjunto origen es numerable.
Y eso es todo, saludos.
:
:
Veo que eres nueva. Recuerda que los expertos no estamos sometidos a examen y lo hacemos de forma altruista, por eso no te cuesta nada valorar las repuestas con excelente y solo así te garantizarás que queramos responder nuevas preguntas tuyas. Para ello puedes cambiar la valoración aquí abajo pinchando donde pone votada.
Sa lu dos.
:
:
