Cómo encuentro el área de la región que se encuentra entre estas funciones trigonométricas?

$$\begin{align}& \end{align}$$

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¡Hola Miguel Ángel!

Esta es la gráfica.

Como ves tenemos que hacer dos integrales definidas, aunque podemos calcular solo una indefinida ya que lo único que cambian es en el signo.

Lo que es importante es calcular el punto de intersección de las dos gráficas

$$\begin{align}&sen\, 2x=sen\,x\\&\\&\text{Por la fórmula del seno del ángulo doble}\\&\\&2senx\,cosx = senx\\&\\&\text{La solución }sen\,x=0\text{ no es la que nos interesa}\\&\\&2 cosx = 1\\&\\&cosx=\frac 12\\&\\&x= \frac{\pi}{3},-\frac \pi 3\\&\\&\text{La que necesitamos es }\frac \pi3\\&\\&\text{Una de las integrales indefinidas es}\\&\\&\int (sen \,2x - senx)dx=-\frac{\cos 2x}2+cosx\\&\\&\text{La primera área será}\\&\\&\left[ -\frac{\cos 2x}2+cosx \right]_0^{\frac \pi 3}= \frac 14+\frac 12+\frac 12-1=\frac 14\\&\\& \\&\text{Y la segunda}\\&\\&\left[ \frac{\cos 2x}2-cosx \right]_{\frac \pi 3}^{\frac \pi 2}=-\frac 12-0+\frac 14+\frac 12=\frac 14\\&\\&\text{Luego el área total es } \frac 14 + \frac 14 = \frac 12 \end{align}$$

Y eso es todo, sa lu dos.
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Veamos primero la imagen

Fijate que en el intervalo dado, la función se corta en un punto apenas mayor a 1. Lo calculé por Newton-Rapson y el punto en cuestión es aprox x=1.047197551 (si no sabés N-R, podés usar cualquier otro método para igualar las funciones sen(x) = sen(2x) )

De este modo vemos que entre 0 y el punto anterior, g(x) > f(x) y del punto hasta PI/2 f(x) > g(x)

$$\begin{align}&Area = \int_0^{1.047197551} (g(x) - f(x)) dx + \int_{1.047197551}^{\pi/2} (f(x) - g(x)) dx = \\&\int_0^{1.047197551} (sen(2x) - sen(x)) dx + \int_{1.047197551}^{\pi/2} (sen(x) - sen(2x)) dx =\\&(\frac{-\cos(2x)}{2} + \cos(x)) \bigg|_0^{1.047197551}  + (-\cos(x) + \frac{\cos(2x)}{2})\bigg|_{1.047197551}^{\pi/2} =\\&(\frac{-\cos(2.094395102)}{2} + \cos(1.047197551))-(\frac{-\cos(0)}{2} + \cos(0))  + (-\cos(\pi/2) + \frac{\cos(\pi)}{2})-(-\cos(1.047197551) + \frac{\cos(2.094395102)}{2})=\\&-\frac{\cos(2.094395102)}{2} + \cos(1.047197551)+\frac{1}{2} - 1  -0 - \frac{1}{2}+\cos(1.047197551) - \frac{\cos(2.094395102)}{2}=\\&2 \cos(1.047197551)  - 1   - \cos(2.094395102)=1 - 1 + 0.5 = 0.5\end{align}$$

Salu2