¿Cómo resolver el siguiente problema de Razón de cambio, aplicaciones de la derivada?
Quisiera comprobar si mis respuestas están bien.
Por la parte inferior de un tanque cónico se fuga agua a razón de 1 pie^3/min. El diámetro del tanque es 6 pies y la altura 9 pies.
a) ¿A qué razón cambia el nivel del agua cuando el agua tiene 6 pies de profunidad?
(Lo que hice fue tomar la fórmula del Volumen para conos (V = 1/3 pi r^2 h) y despejé h, derivé y eso ne dio - 1/6pi pero no se si esté bien)
b) A qué razón cambia el radio del agua cuando el agua tiene 6 pies de profundidad
(Tomé la misma fórmula, derive y despejé r, eso me dio 1/12pi)
c) Suponga que el tanque estaba lleno en t = 0. ¿A qué razón cambia el nivel del agua en t=6 min?
(Creí que si tomaba lo que me dio en a y lo multiplicaba por 6 ( t=6) me daría la respuesta pero al parecer no, entonces no se que hacer)
1 respuesta
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¡Hola Daniella!
Vamos a calcular el volumen del cono en función de la altura:
$$\begin{align}&V= \frac 13\pi r^2h\\&\\&\text{El radio y la altura tienen proporción 3 a 9}\\&\\&\frac rh=\frac 39\\&\\&r =\frac h3\\&\\&V=\frac 13\pi\left(\frac h3 \right)^2h= \frac 1{27}h^3\\&\\&\text{El volumen es función de la altura y la altura del tiempo}\\&\text{Por la regla de la cadena}\\&\\&\frac{dV}{dt}= \frac{dV}{dh}·\frac{dh}{dt}\\&\\&\frac{dh}{dt}= \frac{\frac{dV}{dt}}{\frac{dV}{dh}}\\&\\&\frac{dV}{dt}=-1 \\&\\&\text{ ya que es es el incremento de volumen entre el tiempo}\\&\\&\frac{dV}{dh}=\frac 1{27}\pi·3h^2 = \frac{\pi h^2}{9}\\&\\&\frac{dh}{dt}= \frac{-1}{\frac{\pi h^2}{9}}= -\frac{9}{\pi h^2}\\&\\&a) \text{ Cuando el agua tiene 6 de profundidad coincide con lo}\\&\text{yo he llamado altura 6, el cono está invertido}\\&\\&\frac{dh}{dt}\bigg|_{h=6}=-\frac{9}{\pi·36}= -\frac{1}{4\pi} \quad pies/min\\&\\&·\\&\\&b)\end{align}$$Bueno, voy a dejarlo porque a lo mejor no estamos de acuerdo. Incluso no lo voy a revisar todavía y a lo mejor está malo lo que hice. No sé si tú lo has hecho con el cono apoyado sobre la base o sobre le vértice. Yo he supuesto que sobre el vértice porque he resuelto algún problema así y es lo normal en un tanque que esté así, pero puede que no estemos de acuerdo. Confírmame cuál es la posición del cono.
Saludos.
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Pues esa es la respuesta del libro :3
El cono está apoyado sobre el vértice, porque está invertido.
Por favor ayúdame con el punto C!
Se me olvido poner un pi en el volumen en una línea.
$$\begin{align}&V=\frac 13\pi\left(\frac h3 \right)^2h= \frac \pi{27}h^3\\&\end{align}$$El radio es siempre la tercera parte de la altura
$$\begin{align}&r(t)= \frac 13h(t)\\&\\&\frac{dr}{dt} = \frac 13 ·\frac{dh}{dt}\\&\\&\text{Para el t correspondiente a h=6 teníamos}\\&\\&\frac{dh}{dt}\bigg|_{h=6}=-\frac{1}{4\pi}\quad pies/min\\&\\&\frac{dr}{dt}\bigg|_{h=6}=\frac{1}{3}·\frac{dh}{dt}\bigg|_{h=6}= \frac 13·\left(- \frac{1}{4\pi} \right)=-\frac{\pi}{12}\;pies/min\\&\\&\\&c) \text{ Debemos calcular la altura que hay a los 6 min}\\&\\&\text{Al principio hay un volumen usando la fórmula que calculé}\\&\\&V(0\,min)= \frac{\pi}{27}h^3= \frac{\pi}{27}9^3=27\pi\;pies^3\\&\\&\text{A los 6 minutos hay:}\\&\\&V(6\,min)= 27\pi\;pies^3 - 6min·1 pie^3/min = (27\pi-6)\,pies^3\\&\\&\text{La altura será}\\&\\&(27\pi-6)= \frac{\pi}{27}h^3\\&\\&h = \sqrt[3]{\frac{27(27\pi-6)}{\pi}}\\&\\&\text{Por lo que la derivada será}\\&\\&\frac{dh}{dt}\bigg|_{h=\sqrt[3]{\frac{27(27\pi-6)}{\pi}}}=-\frac{9}{\pi \sqrt[3]{\left(\frac{27(27\pi-6)}{\pi}\right)^2}}=\\&\\&- \frac{1}{\sqrt[3]{\pi^3·\frac{(27\pi-6)^2}{\pi^2}}}= - \frac{1}{\sqrt[3]{\pi(27\pi-6)^2}}\approx\\&\\&0.0371405271 \,pies/min\end{align}$$Como pequeña comprobación de esta tercera parte, calculamos la altura a los 6 min, tomando la calculadora es 8.782583 no es muy distinta de 9, veamos cual era la razón cuando la altura era 9
dh/dt = -9 / (pi·9^2) = - 1/(9pi) = -0.03536776513
Que es parecida y menor porque cuanto menos agua queda más rápido baja el nivel.
Y eso es todo, repasa las cuentas por si acaso.
Saludos.
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