Sobre como resolver el ejercicio 4 de funciones

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¡Hola Mery!

Te dan unos límites para x, luego el dominio no puede exceder esos límites, sería (-3, 3] en el mejor de los casos.

Observa que el ( significa que no entra el-3 y el ] significa que el 3 si entra, tal como nos dicen en las desigualdades.

Pero esta es una función racional y puede ser que tenga puntos donde no esté definida por valer 0 el denominador

x-2=0

x=2

y esta punto esta dentro del intervalo anterior, luego el dominio definitivo es:

Dom f = (-3, 2) u (2, 3]

Lo del rango es algo más complicado y la mejor forma de verlo es haciendo la gráfica, aunque para hacer la gráfica necesitaras algunas cositas:

i) La función tiene una asíntota en x=2

Ii) El limite cuando x tiende a 2 por la izquierda es -infinito, ya que el numerador es positivo y el denominador negativo

Iii) el límite cuando x tiende a 2 por la derecha es +infinito porque tanto numerador como denominador son positivos.

Iv) También conviene saber los intervalos de crecimiento y decrecimiento, para ello calculemos la derivada.

$$\begin{align}&y'=\frac{x-2-x-2}{(x-2)^2}= -\frac{4}{(x-2)^2}\lt0 \;\forall x\end{align}$$

Esto nos dice que la función es siempre decreciente, luego será decreciente en (-3,2)  entre el valor f(-3) y -infinito.  Y será decreciente en(2,3]  entre infinito y f(3)

Eso nos dice que el rango es:

Rango f = (-infinito, f(-3)) u [f(3), +infinito)

Rango f = (-infinito, 1/5) u [5, +infinito)

Y la gráfica con los limites cuando tiende a dos, el hecho de que siempre es decreciente y algún punto de la función que puedas tabular sale sola. Como ya te la hizo Lucas no la haré yo.

Saludos.

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;)
Ojo Dominio:

(-3,3]-{2}