Hallar la segunda derivada de la siguiente función: ∂z/∂r = Fx*cosΘ + Fy*senΘ
En este ejercicio me pidieron hallar la segunda derivada de la siguiente función, por regla de la cadena, especificando cada paso:
∂z/∂r = Fx*cosΘ + Fy*senΘ
a)
∂^2*Z/∂r^2 = ?
b)
∂^2*Z/∂Θ^2=?
Sería de gran ayuda su colaboración.
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¡Hola Jhon!
No entiendo muy bien lo que quieren decir, a lo mejor necesitaría saber el enunciado completo o el contexto del ejercicio. Veamos lo que pieso
Z es una función de r y theta
Pero a su vez r y theta son funciones de x y y.
Y si es como supongo que r y theta son lo
$$\begin{align}&x=r·\cos\theta\\&y=r·sen\theta\\&\\&\text {entonces}\\&\\&\cos\theta= \frac xr= \frac {x}{\sqrt {x^2+y^2}}\\&\\&sen\theta =\frac yr= \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\&\\&\frac{\partial z}{\partial r}= F_x·\cos\theta+F_y·sen\theta\\&\\&\frac{\partial z}{\partial r}= F_x· \frac {x}{\sqrt {x^2+y^2}}+F_y· \frac {y}{\sqrt {x^2+y^2}}\\&\\&\frac{\partial^2 z}{\partial r^2} =\frac{\partial \left(\frac{\partial z}{\partial r}\right)}{\partial r}=\frac{\partial \left(\frac{\partial z}{\partial r}\right)}{\partial x}·\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial \left(\frac{\partial z}{\partial r}\right)}{\partial y}·\frac{\partial y}{\partial r}=\\&\\&\left(F_{xx}· \frac {x}{\sqrt {x^2+y^2}}+F_x·\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x·\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2}\right .+\\&\left . F_{yx}· \frac {y}{\sqrt {x^2+y^2}}+F_y· \frac{-xy}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}\right)·\cos\theta +\\&\\&\left(F_{xy}· \frac {x}{\sqrt {x^2+y^2}}+F_x· \frac{-xy}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}+ \right.\\&\\&\left. F_{yy}·\frac {y}{\sqrt {x^2+y^2}}+F_y·\frac{\sqrt{x^2+y^2}-y·\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2} \right)·sen\theta=\\&\\&\\&\\&\left(F_{xx}· \frac {x}{\sqrt {x^2+y^2}}+F_x·\frac{y^2}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}\right .+\\&\left . F_{yx}· \frac {y}{\sqrt {x^2+y^2}}+F_y· \frac{-xy}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}\right)·\cos\theta +\\&\\&\left(F_{xy}· \frac {x}{\sqrt {x^2+y^2}}+F_x· \frac{-xy}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}+ \right.\\&\left. F_{yy}·\frac {y}{\sqrt {x^2+y^2}}+F_y·\frac{x^2}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}} \right)·sen\theta\\&\end{align}$$Supongo que por la forma que te dieron la parcial primera, debes dejar así la segunda, también se podría dejar toda en función de x y y si sustituyes el seno y coseno por los valores de arriba.
Revísalo bien todo porque vaya lío me hice. Y la otra te la dejo o mándala en otra pregunta pero ahora vienen unos días que podré hacer muy poco aquí.
Saludos.
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