Optimización, maximizando por multiplicadores de Lagrange
Planteo el problema
Maximizar F(X) =5X1+3X2
Sujeto a:
G1(X)= X1+2X2+ X3 -6=0
G2(X)=3x1+ x2+ +x4 -9=0
Dejo la imagen del libro que fue sacado...
Solicitan sea resuelto por lo multiplicadores de Lagrange.
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¡Hola Ángela!
Este ejercicio con dos multiplicadores de Lagrange y cuatro variables excede todo lo que haya en mi vida, espero que salga fácil porque si no va a ser imposible.
El conjunto de seis ecuaciones de las que debemos obtener la solución son.
$$\begin{align}&\frac{\partial F}{\partial X_i}+\lambda_1 \frac{\partial G_1}{\partial X_i}+\lambda_2 \frac{\partial G_2}{\partial X_i}=0\qquad i=1,2,3,4\\&\\&X_1+2X_2+X_3-6=0\\&\\&3X_1+X_2+X_4-9=0\\&--------------------\\&\\&1) \quad 5+\lambda_1+ 3\lambda_2=0\implies \lambda_1=-5-3\lambda_2\\&\\&2) \quad 3+2\lambda_1+\lambda_2 = 0\implies 3-10-6\lambda_2+\lambda_2=0\implies\\&\\&\quad -7=5\lambda_2\implies \lambda_2=-\frac 75\implies\\&\\&\lambda_1=-5+-3·\left(-\frac 75\right)=-\frac 45\\&\\&3)\qquad \lambda_1=0\\&\\&4)\qquad \lambda_2=0\\&\\&\text{Absurdo, tenemos dos valores para cada multiplicador, luego}\\&\\&\text{Si suponemos }X_3\neq 0\text{ llegamos a un absurdo, luego }X_3=0\\&\\&\text{Si suponemos }X_4\neq 0\text{ llegamos a un absurdo, luego }X_4=0\\&\\&\text{Y con esto llegamos a que las ecuaciones 5 y 6 si}\text{n }X_3 \;y \;X_4\\&\text{deciden los valores de }X_1,\;y \;X_2\\&\\&X_1+2X_2-6=0\\&\\&3X_1+X_2-9=0\\&\\&\text{restamos tres veces la primera a la segunda}\\&\\&-5X_2+9=0\implies X_2=\frac 95=1.8\\&\\&X_1=6-2X_2=6-3.6=2.4\\&\\&\text{La solución es:}\\&X_1=2.4\\&X_2=1.8\end{align}$$Pues me dejó algo desconcertado y estuve mucho rato pensando que estaba haciendo mal, pero no tiene otra resolución que la que he dado y resulta absurdo añadir variables virtuales en el método de Lagrange.
Saludos.
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¡Muchas Gracias maestro! Yo llevaba días pensando que hacer con esas variables "extras" tenía claro el resultado pero siempre pensé que estaba mal por qué no trabajaba con ellas!!!
Como siempre, su apoyo es invaluable!!!
Espera que no lo he hecho del todo bien. En realidad yo no sé el mecanismo que tendréis adquirido para resolver estos problemas con variables ficticias, pero lo que voy a hacer es resolverlo bien de acuerdo a la teoría matemática. Me he tomado este ejercicio como algo personal, me interesa resolverlo bien de acuerdo a mis principios.
Entonces quedamos que los valores de los 2 multiplicadores de Lagrange y las 4 variables se obtienen de las 4 ecuaciones de las 4 derivadas parciales y las 2 ecuaciones G1(X)=0 y G2(X)=0
Nosotros, a través de las dos ecuaciones de las derivadas parciales respecto a X1 y X2 ya hemos obtenido los multiplicadores de Lagrange
lambda1 = -4/5
lambda2 = -7/5
Si ahora aplicamos la ecuación de la derivada parcial respecto a X3 queda
$$\begin{align}&0 + 1 · \lambda_1 + 0·\lambda_2= 0\\&\\&\lambda_1=0\\&\\&\text{Pero eso es contradictorio, la unica forma de que }\\&\text{no lo sea es que X3 no se una variable sino una constante}\\&\text{llamemosla }K_3\\&\\&\text{Entonces sería}\\&\\&\frac{\partial}{\partial X_3}(5X_1+3X_2)+\lambda_1·\frac{\partial}{\partial X_3}(X_1+2X_2+K_3-6)+\lambda_2\frac{\partial}{\partial X_3}(X_1+X_2+X_4-9)=0\\&\\&0+\lambda_1·0+\lambda_2·0 = 0\\&0+0+0=0\\&0=0\\&\\&\text{y no hay cantradicción.}\\&\\&\text{Todo esto que hemos dicho rige también para la cuarta ecuación}\\&\text{Para que no haya contradicción debe ser }X_4 \text{ constante } X_4=K_4\\&\\&\text{Por lo tanto las ecuaciones 5 y 6 son estas}\\&\\&G_1(X)= X_1+2X_2+ K_3 -6=0\\&\\&G2(X)=3X_1+ X_2+K_4 -9=0\\&\\&\text{Y se soluciona como antes, primera por (-3) la sumo a segunda}\\&\\&-5X_2-3K_3+K_4+9=0\\&\\&X_2= \frac{9-3K_3+K_4}{5}\\&\\&X_1=-2· \frac{9-3K_3+K_4}{5}-K_3+6=\frac{12+K_3-2K_4}{5}\\&\\&\text{Ahora veremos cuáles valores de }K_3\; y\; K_4\\&\text{optimizan la función objetivo F}\\&\text{Siempre en el supuesto de que son valores no negativos}\\&\\&F(X) =5X_1+3X_2=12+K_3-2K_4+\frac{27-9K_3+3K_4}{5}=\\&\\&\frac{60+5K_3-10K_4+27-9K_3+3K_4}{5}=\\&\\&\frac{87-4K_3-7K_4}{5}\\&\\&\text{Muy bien, K3 y K4 restan, luego la forma de}\\&\text{maximizar F(X) siendo }\;K_3\ge0\quad y \quad K_4\ge 0\\&\text{es con }K_3=0, \;K_4=0\\&\\&\text{con lo cual tendremos los valores definitivos}\\&X_1= \frac {12}5, \quad X_2= \frac 95,\quad X_3=0,\quad X_4=0\\&\\&X_{max}=\left(\frac {12}5,\; \frac 95,\;0,\;0 \right)=(2.4,\;\;1.8,\;\;0,\;\;0)\end{align}$$Y eso es todo.
Saludos.
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