¿Cómo responder estos ejercicios de derivadas y razones de cambio?
Hallar f´(a)
$$\begin{align}&f(x)=\sqrt(3x+1)\end{align}$$Cada límite representa la derivada de alguna función f en algún número a. Presente en cada caso las f y a.
$$\begin{align}&{\lim_{h \to \ 0}} {\sqrt[4] {16 +h} -2\over h}\end{align}$$$$\begin{align}&{\lim_{x \to \pi/4}} {tan x -1 \over x-\pi/4}\end{align}$$$$\begin{align}&{\lim_{t \to \ 1}} {t^4+ t -2 \over t-1}\end{align}$$
2 Respuestas
Respuesta de Lucas m
1
;)
Hola Lola!
1.- f'(a)
$$\begin{align}&f(x)= \sqrt {3x+1}\\&\\&f'(x)= \frac{1}{2 \sqrt{3x+1}}·3\\&\\&f'(a)= \frac{3}{2 \sqrt{ 3a +1}}\\&\\&2.-\\&\lim_{ h \to 0} \frac{\sqrt[4]{16+h}-2}{h}\\&\\&f(x)= \sqrt[4]{x}\\&\\&a=16 \Rightarrow f(16)=\sqrt[4]{16}=2\\&\\&3.-\\&\\&f(x)=tanx\\&\\&a= \frac{\pi}{4}\\&\\&4.-\\&\\&\lim_{t \to 1} \frac{t^4+t-2}{t-1}\\&\\&f(t)=t^4+t\\&\\&a=1 \Rightarrow f(1)=2\end{align}$$Saludos
;)
;)
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
·
·
¡Hola Lola!
Revisa el tercer límite que es distinto de lo que te dieron.
$$\begin{align}&f'(x)= \frac{3}{2 \sqrt{3x+1}}\\&\\&\text{Y }f '(a)\text{ es lo mismo}\\&\\&f'(a) = \frac{3}{2 \sqrt{3a+1}}\\&\\&-----------------\\&\\&\text{Hay que tener en cuenta las dos definiciones de derivada}\\&\\&1) \quad f'(a)=\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\\&\\&2) \quad f'(a) = \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\\&\\&\\&\\&\\&\lim_{h\to 0} \frac{\sqrt[4]{16+h}-2}{h}=\lim_{h\to 0} \frac{\sqrt[4]{16+h}-\sqrt[4]{16}}{h}\\&\\&\text{Luego la función es}\\&f(x)= \sqrt[4]x\\&\text{Y el punto es }a=16\\&\\&------------------\\&\\&\lim_{x\to \pi/4} \frac{tan\,x-1}{x-\pi/4}\\&\\&\text{La función es }f(x)=tan\,x\\&\text{Y el punto }a=\pi/4\\&\\&-------------------\\&\\&\lim_{t\to 1} \frac{t^4+t-2}{t-1} =\lim_{t\to 1} \frac{t^4+t-1-1}{t-1} =\\&\\&f(t) = t^4+t-1\\&\\&a= 1\end{align}$$Y eso es todo saludos.
:
: