Como puedo saber si una función es diferenciable en x?

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¡Hola AaronDaniel!

Fuera del punto x=4 existe un entorno con todos sus valores menores que 4 o todos sus valores mayores que 4, entonces la derivada es la de un polinomio único que siempre es derivable.

Sin embargo en el punto x=4 cualquier entorno contiene puntos menores y mayores de 4, la derivada izquierda se calcula con un polinomio y la derecha con otro distinto, hará falta que esas dos derivadas coincidan para que sea derivable.

Pero tenemos que por la izquierda

f(x) = x+2

f'(x) = 1

y por la derecha

f(x) = -x-6

f'(x) = -1

Luego no coinciden las derivadas laterales en x=4 y por lo tanto f'(4) no existe, no es derivable.

En todo lo que he escrito derivable puedes poner diferenciable, pero es que para una variable se usa la palabra derivable y diferenciable se reserva para funciones de varias variables.

Y eso es todo, sa lu dos.

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Lo primero que hay que ver es si la función es continua, y si haces la comprobación verás que si lo es. Luego queda calcular la derivada, pero al ser una función partida en x=-4 hay que calcularlo 'por definición' en cada uno de los tramos

$$\begin{align}&\lim_{h \to 0^+} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0^+} \frac{-(x+h)-6-(-x-6)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-x-h-6+x+6}{h}=\\&\lim_{h \to 0^+} \frac{-h}{h}=-1\\&\lim_{h \to 0^-} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0^-} \frac{(x+h)+2-(x+2)}{h}=\lim_{h \to 0^-} \frac{x+h+2-x-2}{h}=\\&\lim_{h \to 0^-} \frac{h}{h}=1\end{align}$$

Como no coinciden los valores, la función no es diferenciable en x=-4

Te dejo la gráfica, donde se ve claramente que la función no es diferenciable en ese punto

Salu2

;)
Hola !
Es una función de dos trozos polinómicos. Los polinomios son todos diferenciables.

Hay que ver que pasa en el punto de traspaso x=-4. Recuerda que una derivada es un límite, y un límite existe en un punto si coinciden por la izquierda y por la derecha.

Luego se ha de calcular la derivada en -4, por la derecha y por la izquierda

$$\begin{align}&x<-4 \Rightarrow f'(x)=1\\&\\&x>-4 \Rightarrow f'(x)=-1\\&\\&f'(-4^-)=1\\&\\&f'(-4^+)=-1\\&distintos\end{align}$$

luego esa función es diferenciable en todos los puntos excepto en x=-4

Saludos

;)

;)