Ejercicio de Calculo diferencial funciones trigonométricas

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¡Hola Alger!

Por variar un poco aunque la más sencilla es la que ya tienes. Usaremos la fórmula del seno del ángulo doble:

$$\begin{align}&\lim_{\theta\to 0} \frac{sen 2 \theta}{\theta}= \lim_{\theta\to 0} \frac{2sen \theta \cos \theta}{\theta}= \\&\\&2· \lim_{\theta\to 0} \frac{sen \theta}{\theta}·\lim_{\theta\to 0} \cos\theta=\\&\\&\text{Y ahora si se usa eso de }  \lim_{\theta\to 0} \frac{sen \theta}{\theta}=1\\&\\&= 2·1·1 = 2\end{align}$$

Y eso es todo, sa lu dos.

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Sabes que:

$$\begin{align}&\lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x} = 1\\&\text{En realidad esto se puede generalizar a:}\\&\lim_{f(x) \to 0} \frac{\sin(f(x))}{f(x)} = 1\\&\text{Y en este caso tenemos que:}\\&\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin(2 \theta)}{\theta} = \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin(2 \theta)}{\theta} \cdot \frac{2}{2}= \\&\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin(2 \theta)}{2\theta}\cdot 2=\\&\text{La parte izquierda es el límite que puse como generalización que tiende a 1, por lo tanto }\\&= 1\cdot 2  = 2\end{align}$$

Salu2