Necesito calcular este limite que incluye radicales...
Hola, tengo una duda de como resolver los siguientes limites y saber cual es la solucion..
1 respuesta
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¡Hola Jos!
Supongo que habrás dado la regla de l'Hôpital, si no me parece demasiado complicado. Si lo evalúas verás que es un límite del tipo 0/0, la regla de l'Hôpital dice que se se deriva el numerador y el denominador tenemos el mismo límite.
$$\begin{align}&\lim_{h\to 0} \frac {4h}{ \sqrt[5]{3h-1}+1}= \lim_{h\to 0} \frac {4h}{(3h-1)^{\frac 15}+1}=\\&\\&derivando\\&\\&=\lim_{h\to 0} \frac{4}{\frac 15(3h-1)^{- \frac 45}·3}=\lim_{h\to 0} \frac{20(3h-1)^{\frac 45}}{3}=\\&\\&\frac {20(-1)^{\frac 45}}3= \frac {20·1^{\frac 15}}3= \frac {20}3\end{align}$$Si no se puede usar la regla esa dímelo.
Y eso es todo, saludos.
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no puedo usar esa regla
Necesito que por favor me expliques con racionalización
Pero ya harás el favor de subir la nota pinchando abajo donde pone votada que no va a ser tan fácil, a mí me extraña que te pongan este límite si no has hecho antes alguno parecido.
Hay dos clases de expresiones ciclotómicas, la primera es bastante sencilla.
$$\begin{align}&a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+ ab^{n-2}+b^{n-1})\\&\\&\text{En la segunda hay que alternar los signos}\\&\\&a^n+b^n= (a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-...+(-1)^{n-2} ab^{n-2}+(-1)^{n-1}b^{n-1}\\&\\&\text{En concreto para n=5}\\&\\&a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)\\&\\&\text{Aunque lo que nos interesa es en esta forma}\\&\\&\frac{1}{a+b}=\frac{a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4}{a^5+b^5}\\&\\&\\&Tomando\\&\\&a= \sqrt[5]{3h-1}\\&b=1\\&\\&\text{y sustituyendo en el límite tendremos}\\&\\&\lim_{h\to 0} \frac{4h}{\sqrt[5]{3h-1}+1}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{4h\left(\sqrt[5]{(3h-1)^4}-\sqrt[5]{(3h-1)^3}+\sqrt[5]{(3h-1)^2}-\sqrt[5]{3h-1}+1\right)}{3h-1+1}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{4h\left(\sqrt[5]{(3h-1)^4}-\sqrt[5]{(3h-1)^3}+\sqrt[5]{(3h-1)^2}-\sqrt[5]{3h-1}+1\right)}{3h}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{4\left(\sqrt[5]{(3h-1)^4}-\sqrt[5]{(3h-1)^3}+\sqrt[5]{(3h-1)^2}-\sqrt[5]{3h-1}+1\right)}{3}=\\&\\&\frac{4\left(\sqrt[5]{1}-\sqrt[5]{-1}+\sqrt[5]{1}-\sqrt[5]{-1}+1\right)}{3}=\\&\\&\frac{4(1+1+1+1+1)}{3}= \frac{4·5}{3}= \frac {20}3\\&\\&\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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