Anónimo
Determinar las asíntotas, los intervalos de crecimiento y los extremos relativos
Dada la función:
a) Determinar las asíntotas.
b) Determinar los intervalos de crecimiento y los extremos relativos.
c) Estudiar la concavidad y convexidad.
Para hallar las asíntotas de la función f(x) es necesario averiguar cuando la función no existe, es decir, cuando su denominador es 0.
En el caso de f(x)=x^3/(x-3), la función no existe cuando x-3=0 => x=3.
Por lo tanto en x=3 hay una asíntota.
Ahora miramos como se comporta la función alrededor de x=3.
$$\begin{align}&\lim_{x \rightarrow 3^+}{\frac{x^3}{x-3}}= +\infty\\&\lim_{x \rightarrow 3^-}{\frac{x^3}{x-3}}= -\infty\end{align}$$Ahora, para hallar los intervalos de crecimiento vasta con derivar la función f(x) y resolver las siguientes inecuaciones:
$$\begin{align}&f'(x)=\frac{3x^2(x-3)-x^3}{(x-3)^2}=\frac{2x^3-9x^2}{(x-3)^2}=\frac{x^2(2x-9)}{(x-3)^2}\end{align}$$f(x) crece cuando f'(x)>0
$$\begin{align}&f'(x)=\frac{x^2(2x-9)}{(x-3)^2}>0 \rightarrow x^2(2x-9)>(x-3)^2 \\&\rightarrow 2x^3-9x^2> x^2-6x+9 \rightarrow 2x^3-10x^2+6x-9>0 \rightarrow \,... \rightarrow x>\frac{9}{2}\end{align}$$f(x) decrece cuando f'(x)<0
$$\begin{align}&f'(x)=\frac{x^2(2x-9)}{(x-3)^2}<0 \rightarrow x^2(2x-9)<(x-3)^2 \\&\rightarrow 2x^3-9x^2< x^2-6x+9 \rightarrow 2x^3-10x^2+6x-9<0 \rightarrow \,... \rightarrow x<3 \,\,\,\, \text{y}\,\,\,\, 3 < x<\frac{9}{2}\end{align}$$$$\begin{align}&\text{Entonces $f(x)$ decrece en el intervalo $(-\infty,3)\cup(3,\frac{9}{2})$ y crece en el intervalo $(\frac{9}{2},+\infty)$ .}\\&\text{El 3 no pertenece al dominio por lo que no se incluye en los intervalos, y en $\frac{9}{2}$ la función ni crece ni decrece.}\end{align}$$En el caso de la concavidad de la función, hay que analizar el crecimiento de la segunda derivada de f(x), es decir, cuando f''(x)>0 y f''(x)<0.
Se resuelve de forma similar al apartado anterior.
$$\begin{align}&f''(x)=\frac{2 x (x^2-9 x+27)}{(x-3)^3}\\&f''(x)>0 \Leftrightarrow x<0 \,\,\,\text{y}\,\,\, x>3\\&f''(x)<0 \Leftrightarrow 0 < x < 3\end{align}$$Lo que no te puedo decir es que intervalo es concavo o convexo ya que dependiendo de quien te lo explique es de una u otra forma. Mira en la definición de tu libro o en los apuntes de tu profesor.
Perdóname por las faltas de ortografía, no las he prestado atención, pero el "vasta" de ahí arriba es imperdonable.