Encuentre la ecuación del conjunto de todos los puntos de intersección de los dos planos 𝜋1=2𝑥−𝑦+3𝑧=2 𝜋2=𝑥−3𝑦+4𝑧=9

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¡Hola Elkin!

Tenemos dos ecuaciones de tres incógnitas, suponiendo que sean independientes, que lo son, es sun sistema compatible indeterminado dependiente de un parámetro.

Tomaremos como parámetro una de las incógnitas, yo elijo siempre la z. El parámetro se pasa a la parte derecha como si fuese una constante e incluso se le puede dar otro nombre como t que es la letra que se suele usar en las ecuaciones paramétricas de la recta.

$$\begin{align}&z=t\\&2𝑥−𝑦=2-3t \\&𝑥−3𝑦=9-4t\\&\\&\text{multiplicaré la 3ª por (-2) y luego sumaré 2ª y 3ª}\\&\quad\;2𝑥−𝑦=2-3t \\&-2𝑥+6𝑦=-18+8t\\&5y = -16+5t\\&y= -\frac{16}{5}+t\\&\\&\text{ahora voy a la primera de estas dos}\\&\\&2x + \frac {16}5-t = 2-3t\\&\\&2x =-\frac 65-2t\\&\\&x= -\frac{3}{5}-t\\&\\&\text{Luego la ecuación paramétrica de la recta es}\\&\\&x= -\frac{3}{5}-t\\&y= -\frac{16}{5}+t\\&z=t\\&\\&\text{Si quieres la ecuación en forma continua es}\\&\\&\frac{x+\frac 35}{-1}=\frac{y+ \frac {16}5}{1}=\frac z1\end{align}$$

Y esa fracción en forma continua es mejor dejarla así como está pues resulta mucho más claro extraer el vector y un punto de esa forma que si se cambia el signo en el primer término, eso genera muchos errores después.  Ahora bien, si tenéis la costumbre de hacerlo quita los denominadores y cambia los signos del primer término.

No olvides valorar la respuesta.  Y eso es todo s a l u d o s.

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Primero despejamos le sistema de las dos ecuaciones a por en función de z eliminando a y.

Y luego despejamos a por en función de y eliminando a z

Igualamos las ecuaciones encontradas a por para obtener la ecuación paramétrica de la recta.