Sabiendo que el teorema de Frobenius dice: Si x=x_0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial ordinaria a_2 (x) y

De todo expertos

Necesito desarrollar este trabajo le agradezco que me ayuden lo más pronto posible gracias

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¿Necesitas solo la respuesta o necesitas también el desarrollo?

necesito el desarrollo gracias con la respuesta muy amable gracias 

Disculpa una pregunta más sería posible que puedas publicar tu tarea en la página brainly. Lat no estoy haciendo publicidad ni nada, ¿pero es que ahí si puedo subir un PDF siendo más datallado en los pasos que debes seguir me puedes ayudar con eso?

Es que aquí me demoro mucho en escribir en lenguaje matemático cada ecuación...¿puedes hacerlo?.. yo ya te ayudo no te preocupes

El teorema de Frobenius es el que citaste al comienzo del ejercicio, y nos pide que mediante éste método hallamoe suna solución a la ecuación diferencial,

$$\begin{align}&4xy''+2y'+y=0\end{align}$$

entonces lo que hacemos es considerar los puntos singulares de la ecuación diferencial es obvio que será

$$\begin{align}&x=0\end{align}$$

entonces, podemos armar nuestra "supuesta" solución, es decir,

$$\begin{align}&y=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}{C_{n}(x^ {n+r})}\\&\\&Derivando\\&\\&y=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n+r)C_{n}(x^ {n+r-1})}\\&\\&Pero\hspace{1mm}tambi\acute{e}n\hspace{1mm}necesitamos\hspace{1mm}la\hspace{1mm}segunda\hspace{2mm}derivada\\&\\&y=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n+r)(x+r-1)C_{n}(x^ {n+r-2})}\\&\end{align}$$

Bien, con ésto vamos a reemplazar en la ecuación diferencial y lo demás solo será de nuestra creatividad para manipular los números y las sumatorias aplicando las propiedades.

entonces reemplazando en la ecuación nos queda,

$$\begin{align}&4xy''+2y'+y=(4x)\left[\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n+r)(n+r-1)C_{n}(x^ {n-2})x^{r}}\right]+(2)\left[\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n+r)C_{n}(x^ {n-1}x^{r})}\right]+\left[\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n+r)C_{n}(x^ {n}x^{r})}\right]=0\\&\\&Sacamos\hspace{1mm}factor\hspace{1mm}com\acute{u}n\\&\\&x^{r}\left((4x)\left[\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n+r)(n+r-1)C_{n}(x^ {n-2})}\right]+(2)\left[\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n+r)C_{n}(x^ {n-1})}\right]+\left[\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n+r)C_{n}(x^ {n})}\right]\right)=0\\&\end{align}$$

Ahora el propósito es tratar de simplficar las sumatorias en una sola, para eso debemos hacer que los límites de la sumatoria sean iguales ¿Tienes alguna idea de como hacer eso?, para eso debemos extraer elementos de la sumatoria con el propósito de que el término

$$\begin{align}&x^{n+r},x^{n+r-1},x^{n+r-2}\hspace{5mm}cuando:n=0\end{align}$$

siempre sean iguales, si me entiendes, por ejemplo para el primer término tenemos

$$\begin{align}&x^{n+r},\hspace{3mm}cuando:n=0,\hspace{5mm}x^{r}\\&x^{n+r-1},\hspace{3mm}cuando:n=0,\hspace{5mm}x^{r-1}\\&x^{n+r-2},\hspace{3mm}cuando:n=0,\hspace{5mm}x^{r-2}\\&\end{align}$$

Debemos hace que todo éstos términos sean iguales, primero podemos usar un poco el álgebra de los exponentes, si recuerdas,

$$\begin{align}&a^{x}a^{y}=a^{x+y}\end{align}$$

entonces podemos reescribir la ecuación que dejamos reemplazada así,

Solamente hemos sacado ese número que no está fasdiando ahí metido, ahora si, tenemos los términos,

$$\begin{align}&x^{n},x^{n-1},x^{n-2}\\&\\&Si\hspace{1mm}reemplazas\hspace{1mm}n=0\hspace{1mm}nos\hspace{1mm}queda:\\&\\&x^{0},x^{0-1},x^{0-2}=1,x^{-1},x^{-2}\end{align}$$

pero ésto no nos sirve para poder comprimir todas las usmatoria en una sola, necesitamos que únicamente los términos que he mencionado sean iguales cuando n=0, entonces lo que hacemos es QUITAR elementos de las sumatorias así reducimos el límite inferior de cada sumatoria. Lo más fácil que se ve es quitar elementos de cada sumatoria hasta que en todas las sumatoria consigas que al momento de reemplazar el valor de "n" el término

$$\begin{align}&x^{n},x^{n-1},x^{n-2}\end{align}$$

tengan la mismo potencia. a la primer sumatoria podemos quitar únicamente el primer término de la sumatoria es decir cuando n=1.

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