Método de Euler en dinámica de partículas. Velocidad y posición. ¿Cómo empiezo?
Una piedra de granizo de masa 4.80x10^-4 kg cae a través del aire y experimenta una fuerza neta dada por F= -mg + Cv²
donde C = 2.5x10^-5 kg/m.
Utilice el método de Euler para calcular la velocidad y posición del granizo a intervalos de 0.2s, tomando la velocidad inicial igual a cero.
Si me hacen el favor de decirme cómo empezar a resolver este problema.
Yo obtengo la aceleración dividiendo F/m, pero me queda una ecuación con v² dentro y ya me bloqueo.
1 Respuesta
Bien, esto no es más que un problema de condiciones iniciales. Imagino que has estudiado EDO's (ecuaciones diferenciales ordinarias) y el método de aproximación por Euler.
Nuestra ecuación es la siguiente escrita en modo diferencial
$$\begin{align}&m·v'(t)=-mg+C·v(t)^2\\&Aislando\\&v'(t)=-g+\frac{C}{m}v(t)^2\end{align}$$La fórmula de Euler nos dice que
$$\begin{align}&x(t_{n+1})=x_{n+1}=x_n+h·f(t_n,x_n)=x_n+h·f_n\end{align}$$En nuestro caso la x(t) será la velocidad. t será el tiempo y f(x,t) será la derivada de la velocidad, es decir la aceleración que depende de la velocidad y del tiempo.
Esta ecuación es una formula iterativa, es decir, usaremos el valor anterior, cada vez para obtener los valores que queramos con un paso h=0.2s h es la diferencia de tiempo entre los puntos que queremos encontrar la velocidad.
$$\begin{align}&v'(t)=-g+\frac{C}{m}v(t)^2\\&v_{n+1}=v_n+h·v'(t_n,v_n)\\&v_0=0\\&v_{0.2}=0+0.2·(-9.81+C·0^2/m)=-1.962 m/s\\&v_{0.4}=-1.962+0.2·(-9.81+\frac{2.5·10^{-5}·(-1.962)^2}{4.8·10^{-4}})=-1.962+0.2·(-9.81+\frac{0.25·(-1.962)^2}{4.8})=-3.8839 m/s\\&v_{0.6}=-3.8839+0.2·(-9.81+\frac{0.25·(-3.8839)^2}{4.8})=-5.6888 m/s\\&v_{0.8}=-5.6888+0.2·(-9.81+\frac{0.25·(-5.6888)^2}{4.8})=-7.3137 m/s\\&v_1=-7.3137+0.2·(-9.81+\frac{0.25·(-7.3137)^2}{4.8})=-8.7185 m/s\\&...\end{align}$$Esto es todo, sería hacer esto de 0.2 en 0.2s hasta que tendrás una velocidad invariante que vale aproximadamente -13.7241 m/s que sería la velocidad límite de esta ecuación.
Esto es lógico puesto que cuando llegas a una velocidad determinada la fuerza de oposición es tan grande que compensa la fuerza gravitatoria y te impide acelerar más.
Cabe recordar que el método de Euler es un método aproximado. Esto también se puede resolver mediante ecuaciones diferenciales. Sin embargo es un proceso tedioso y no demasiado útil para aplicaciones prácticas.
Espero haberte ayudado, si tienes alguna duda puedes preguntarme, a veces hacemos lo mismo de formas distintas y quizá no estés acostumbrado a ver la resolución de esta manera.
