´¿Cómo se demhestra por inducción que 1+q+⋯+q^(n-1)=(q^n-1)/(q-1) para toda q≠1.
Demostrar por inducción que para toda q≠1, 1+q+⋯+q^(n-1)=(q^n-1)/(q-1)
Respuesta
3
Veamos que pasa para n=2
$$\begin{align}&1+q^{2-1}=1+q\\&\text{Por otro lado}\\&\frac{q^{2-1}}{q-1}=\frac{q}{q-1}\\&Veamos \ si\\&1+q=^?\frac{q}{q-1}\\&(1+q)(q-1)=^?q\\&q^2-1=^?q\end{align}$$Claramente no es cierto ese planteo
Salu2
Disculpa; hay un error de escritura, la suma debe ser (q^(n)-1)/(q-1). Esto hace que para n=2 se tenga como resultado 1+q, lo cual es cierto ¿Puedes continuar, por favor?
Ok, ahora sí...
Lo vimos para n=2, en realidad habría que hacerlo para n=1 (te lo dejo de tarea, si tienes dudas pregunta)
Veamos ahora el paso inductivo, pero antes para simplificar la notación vos a escribir esa sumatoria de una manera abreviada
$$\begin{align}&1+q+...+q^{n-1}=\sum_{i=0}^{n-1}q^i\\&\text{Lo que dice el principio de inducción es que suponiendo que vale para n, entonces vale pare n+1, o sea}\\&P(n) \to P(n+1)\\&\text{Voy a volver a escribir P(n) para que quede claro el punto por la confusión inicial}\\&\sum_{i=0}^{n-1}q^i = \frac{q^n-1}{q-1}\\&O\ sea\ que:\\&\sum_{i=0}^{n-1}q^i = \frac{q^n-1}{q-1} \Rightarrow \sum_{i=0}^{n}q^i = \frac{q^{n+1}-1}{q-1} \\&\\&\text{Partiendo del lado izquierdo de P(n+1)}\\&\sum_{i=0}^{n}q^i=\sum_{i=0}^{n-1}q^i+q^{n} \text{...(separé el último término, así ya tenemos la sumatoria igual a la base del paso inductivo)}\\&= \frac{q^n-1}{q-1}+q^n....(común\ denominador)\\&= \frac{q^n-1+q^n(q-1)}{q-1}= \frac{q^n-1+q^{n+1}-q^n}{q-1}= \frac{q^{n+1}-1}{q-1}\end{align}$$Por lo tanto queda demostrado.
Salu2