Quien puede resolver ejercicio referente a ecuaciones

No es muy complicado, lo que debes hacer es usar el criterio de la razón, o el criterio de la raíz, entonces,

$$\begin{align}&\textrm{Criterio de la razón}\\&\\&Sea\hspace{2mm} \sum\limits_{n=1}^{+\infty}{u_{n}}\hspace{3mm}\textrm{un serie infinita para la cual cada  }u_{n}\neq0\\&(i)\hspace{3mm}\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right|}=L<1,\hspace{3mm}\textrm{entonces la serie es absolutamente convergente}\end{align}$$

hay dos enunciadas más...pero el que nos interesa por ahora es solo éste...bien, entonces,

$$\begin{align}&\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right|}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{\frac{(x+1)^{n+1}}{(n+1)2^{n+1}}}{\frac{(x+1)^{n}}{n2^{n}}}\right|}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{(x+1)^{n+1}}{(n+1)2^{n+1}}\frac{n2^{n}}{(x+1)^{n}}\right|}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{(x+1)^{n}(x+1)^{1}}{(n+1)2^{n}2^{1}}\frac{n2^{n}}{(x+1)^{n}}\right|}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{(x+1)n}{2(n+1)}\right|}=\left|\frac{x+1}{2}\right|\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n}{n+1}}=\left|\frac{x+1}{2}\right|(1)=\left|\frac{x+1}{2}\right|\end{align}$$

bien, usando el primer enunciado queremos que serie ser completamente convergente entonces se debe cumplir que,

$$\begin{align}&\left|\frac{x+1}{2}\right|<1\\&-1<\frac{x+1}{2}<1\\&-2< x+1<2\\&\\&-3< x<1\end{align}$$

bien, de aquí tenemos que ver cual es el radio de convergencia, según reemplacemos x=-3 y x=1, en la sucesión, entonces,

$$\begin{align}&Para:x=-3\\&\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{((-3)+1)^{n}}{n2^{n}}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-2)^{n}}{n2^{n}}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}(2)^{n}}{n2^{n}}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{n}}\\&\\&\textrm{Y lo único que TE QUEDA (a ti) por hacer, hallar el límite de esa suma, cuando  }n\rightarrow\infty \\&\textrm{ de donde vas a concluir que diverge porque   }\lim_{n\rightarrow\infty}{u_{n}}\neq0.\\&\\&Para:x=1\\&(verifica)\textrm{  la serie converge puesto que   }\lim_{n\rightarrow\infty}{u_{n}}=0.\\&\\&\end{align}$$

por lo tanto el radio de convergencia es 1, si quieres saber el intervalo...como ya sabes que diverge por un lafo y converge del otro entonces,

$$\begin{align}&Intervalo:(-3,1]\end{align}$$