Calcular el límite: lim(x→x_0 )⁡(√x-√(x_0 ))/(x-x_0 )

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Hola Antonio!
Ese limite es de la indeterminación 0/0, para poder simplificar hemos de multiplicar y dividir esa fracción por el binomio conjugado del numerador. Te quedará entonces una identidad notable

(A+B)(A-B)=A^2-B^2

$$\begin{align}&\lim_{x \to x_0} \frac { \sqrt x - \sqrt {x_0}}{x-x_0}=\frac { \sqrt x_0- \sqrt {x_0}}{x_0-x_0}= \frac 0 0=\\&\\&\lim_{x \to x_0} \frac { \sqrt x - \sqrt {x_0}}{x-x_0}·\frac { \sqrt x+ \sqrt {x_0}}{ \sqrt x+ \sqrt {x_0}}=\\&\\&\\&\lim_{x \to x_0} \frac {( \sqrt x)^2 - (\sqrt {x_0})^2}{(x-x_0)(\sqrt x +\sqrt x_0)}=\\&\\&\\&\lim_{x \to x_0} \frac {  x - x_0}{(x-x_0)(\sqrt x +\sqrt x_0)}=\\&\\&\lim_{x \to x_0}\frac  1 {\sqrt x + \sqrt x_0}= \frac 1 { \sqrt {x_0}+\sqrt {x_0}}=\frac 1 {2 \ \ \sqrt {x_0}}\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

Saludos

;)

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