Ejercicios de optimización, volumen de un cono con derivadas

Voy a calcular la derivada de la función, pero como esa letra está complicada, la llamaré 'x' :-)

$$\begin{align}&f(x) = \frac{R^3x^2 \sqrt{4 \pi^2 - x^2}}{24 \pi^2}\\&\text{La voy a escribir de otro modo (me resulta más sencillo para derivar)}\\&f(x)  = \frac{R^3}{24 \pi^2} (x^2 ({4 \pi^2 - x^2})^{1/2})\\&f'(x)=\frac{R^3}{24 \pi^2} (2x ({4 \pi^2 - x^2})^{1/2}+ x^2 \frac{1}{2}({4 \pi^2 - x^2})^{-1/2}(-2x))\\&Reacomodando...\\&f'(x)=\frac{R^3 x}{24 \pi^2} \bigg(2 ({4 \pi^2 - x^2})^{1/2}-  \frac{x^2}{({4 \pi^2 - x^2})^{1/2}} \bigg)\\&Factor\ comun...\\&f'(x)=\frac{R^3 x}{24 \pi^2} \bigg(\frac{2 ({4 \pi^2 - x^2})^{1/2}({4 \pi^2 - x^2})^{1/2} - x^2}{({4 \pi^2 - x^2})^{1/2}} \bigg)\\&f'(x)=\frac{R^3 x}{24 \pi^2} \bigg(\frac{ ({8 \pi^2 - 2x^2}) - x^2}{({4 \pi^2 - x^2})^{1/2}} \bigg)\\&f'(x)=\frac{R^3 x}{24 \pi^2} \bigg(\frac{ ({8 \pi^2 - 3x^2}) }{\sqrt{4 \pi^2 - x^2}} \bigg)\end{align}$$

No me da como dicen, pero tampoco como dices tú...

Salu2

El resultado del libro es correcto. También usaré x para el ángulo.

Derivemos apartando las constantes así: √ π

V(x) = (R^3/24π^2) * [ x^2*√(4π^2 - x^2)];  es un producto de funciones de x.

V'(x) = (R^3/24π^2) * [[ 2x√(4π^2 - x^2) + (( x^2 *{1/[2√(4π^2 - x^2)]} * (-2x)))]];

V'(x) = (R^3/24π^2) * (( 2x√(4π^2 - x^2) -  {x^3 /[√(4π^2 - x^2)]} ));

V'(x) = (R^3/24π^2) * { [2x (4π^2 - x^2) -  x^3 ] /[√(4π^2 - x^2)]}; 

Igualo a 0:

0 = (R^3/24π^2) * { [2x (4π^2 - x^2) -  x^3 ] /[√(4π^2 - x^2)]}; simplifico todos los productos de la derecha, que se van al multiplicar y dividir al 0 de la izquierda:

0 = 2x (4π^2 - x^2) -  x^3;

2x (4π^2 - x^2) =  x^3;

8xπ^2 - 2x^3 = x^3;

8xπ^2  = 3x^3;

(8/3)π^2 = x^2;

x= 2π √(2/3);  tal cual el libro.

Donde dice apartaremos las constantes así, no deber ir la raiz ni pi.

Revisando los c'alculos vi mi error. Aunque, mi confusión era por la derivada de la función, a mí me sale en el denominador 24π^2  √(4π^2 - v^2), creo que ha sido un error de impresión.

Un saludo.