Hay ecuaciones diferenciales que no se pueden resolver utilizando directamente la separación de variables, pero pueden ser

y^3 + x^3 dy/dx= xy^2 dy/dx;  observa que para ambos lados del signo = hay (dy/dx).  Esto es muy raro que se ponga de esta manera, aunque no imposible:  y^3 + (x^3 - xy^2)(dy/dx) = 0.  De todas maneras es una ED homogénea.  Si no llega a ser así, por favor indícame cómo es e intentaré resolverla.

y^3 + (x^3 - xy^2)(dy/dx) = 0.

(x^3 - xy^2)(dy/dx) = - y^3;

(x^3 - xy^2) dy = -y^3 dx;  como es una homogénea de 3° grado, continúo:

y=ux;  dy=dux + dxu;

(x^3 - x^3u^2)(dux + dxu) = -x^3u^3 dx;  simplifico dividiendo por x^3:

(1 -u^2)(dux + dxu) = -u^3 dx;;

dux + dxu - duxu^2 - dxu^3 = -dxu^3;  simplifico:

dux + dxu - duxu^2 = 0;

(x - xu^2)du = -dxu;

x(1-u^2)du = -dxu;

(1-u^2)du/u = -dx / x; integro:

(du/u)  - udu =- dx/x

ln|u| - (1/2)u^2 = - ln|x| + C;

Puedes hacer:  C=ln|A|, que también es una constante, y otra igualdad:

(1/2)u^2= ln|e^[(1/2)u^2]|;  reemplazo:

ln|u| - ln|e^[(1/2)u^2]| = -ln |x| + ln|A|;  

ln |u / e^[(1/2)u^2] | = ln |A/x|;  simplifico:

u / e^[(1/2)u^2]  = A/x;  devuelvo variable desde:  y=ux;  u=y/x;

(y/x) / e^[(1/2)(y/x)^2]  = Ax;

y / e^[(1/2)(y/x)^2]  = A;

y = A * [e^(1/2)(y^2/x^2)];  que corresponde a tu respuesta A. (Observa que usan c como constante en lugar de A, que es lo mismo).

Hola Norberto me puedes colaborar con este punto muchas gracias

Problema 1:

Una de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden es la solución de problemas de mezclas. En ellos, generalmente se presenta la siguiente situación:  

La ecuación diferencial asociada es la siguiente ecuación diferencial lineal, que permite encontrar la ley de variación de la cantidad de soluto x(t) en un instante de tiempo t 

Un depósito contiene 500 lt de líquido en el que se disuelven 20 gr de sal: Una salmuera que contiene 5 gr/lt se bombea al depósito con una intensidad de 8 lt/min, la solución  adecuadamente  mezclada  se  bombea  hacia fuera  con una  intensidad  de 10 lt/min. Encuentre el número de gramos de sal y la concentración de sal,  que hay en el depósito en un instante cualquiera.

En la gráfica, la razón de salida es Q2. Tratemos de resolver el problema con la fórmula que te dan e intentemos además razonarla.

Sustituyanos en la fórmula dada con los datos:

(dx/dt) + [10 (l/min)x(t)] / {500l + [(8-10)(l/min)]*t}  = 8 (l/min) * 5 (g/l);

Observemos que:  500 l + [(8-10)(l/min)]*t, simplemente es el volumen de la cuba para cualquier t;  es únicamente V0 + (la entrada - la salida multiplicados por el tiempo).  Si quisieras la ED de la variación del volumen en la cuba es una simple recta:  dV/dt = Vi-V0;  resuelta:  V(t) = (Vi-Vo)t + Vo.

Por otro lado: A1*C1 es la razón de entrada del soluto: observa que sustituimos con 40 g/min.

La ED toda es la derivación de x(t) = xin(t) - xout(t) + x0;  que se reacomodó como:   x(t) + xout(t) = xin(t) + x0;  que al derivar desaparecerá x0 por ser una constante, y dx/dt nos modela una "variación" de x respecto al tiempo.

(dx/dt) + [10 (l/min)x(t)] / {500l + [(-2)(l/min)]*t}  = 40 (g/min);

Es una ED lineal de primer grado, por lo que hallamos el Factor integrante:

µ = e^10*∫ dt/ (500-2t);

µ = e^(-5) ln |500 - 2t|; 

µ = e^ ln|500-2t|^(-5); 

µ = (500-2t)^(-5)

d  x/(500-2t)^5 = 40 * (500-2t)^(-5) * dt;  integro ambos lados:

x/(500-2t)^5 = 40 * (-1/4) * (-1/2) * (500-2t)^(-4) *  + A; (A=Cte)

x/(5'00-2t)^5 = 5 * (500-2t)^(-4) + A;

x(t) = 5(500-2t) + A(500-2t)^5;  expresado en g, y t en minutos.

Para la concentración a cualquier tiempo, simplemente dividimos este resultado por el volumen para cualquier tiempo:

C(t) = x(t) / [500l + (8l/min - 10 l/min)*t];  o:

C(t) = x(t) / {500l - [(2l/min)*t]};  expresado en g/l.

Tener en cuenta que esta ED es válida para t<250min, porque cuando t=250min, el volumen contenido en la cuba es=0, la cantidad de sal también es 0 y queda una indefinición C(250min) = 0/0. A partir de allí entra y sale 8 l/min con 5 g/l de sal en forma constante.

Hola Me puedes colaborar con este punto sino que lo he publicado 

Nota: Una vez seleccione su respuesta, describa el procedimiento que la justifique

1. Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial ordinaria que tiene un valor especificado que se conoce como la condición inicial, de la función desconocida en un punto dado del dominio de la solución. Para el problema de valor inicial y" + y =4x + 10 sin x, y(π )=0, y`(π )=2 , la solución particular yp y la solución al problema  corresponden a:

1. Y= 9π  cos x + 7 sin x + 4x - 5x cos x

2. Yp= Ax +B+ Cx cos x + Ex cos x

3. Yp = Ax + B + Cx cos x + Ex sin x

4. Y = 9π  sin x + 7 sin x + 4x - 5x sin x 

Explicar la solución de esta preguntay seleccionar la respuesta

y" + y =4x + 10 sin x, y(π )=0, y`(π )=2; 

Homogénea:  m^2+1=0;  m=+-i;      y(H) = e^0 * (Asinx + Bcosx);  

y(H) = Asinx + Bcosx;

Para 4x:   y=Ax+B;  y' = A;  y" = 0;  Reemplazo:

0 + Ax + B = 4x;  A=4;  B=0;  queda:  4x;

Para 10sinx:  (Csinx + Dcosx);  pero como tengo ambas formas en y(H):

y= Cxsinx + Dxcosx;  y'= C (sinx + xcosx) + D (cosx - xsinx);

y " = C (cosx + cosx - xsinx) + D [-sinx - (sinx+xcosx)];

y " = C (2cosx - xsinx) - D (2sinx + xcosx);  reemplazo:

C (2cosx - xsinx) - D (2sinx + xcosx) + Cxsinx + Dxcosx = 10senx;

C (2cosx ) - D (2sinx + 2xcosx)= 10senx;   C (cosx ) - D (sinx + xcosx)= 5senx;

### y(p) = Ax + B + Cxcosx + Exsinx; (que coincide con tu opción 3); porque si ponemos:

Ax + B + Pxcosx + Exsinx + Qxcosx;  debemos hacer:

Ax + B + (P+Q)xcosx + Exsinx;  y si C=P+Q:    y(p) = Ax + B + Cxcosx + Exsinx

 y (t)  = Asinx + Bcosx + 4x + 5xsenx;  ponemos los valores iniciales:   y(π )=0, y`(π )=2

Para π usaré p:  

0 = Asinp + Bcosp + 4p + 5psenp;    0 = -B+4p;  

B=4p;

 y ' = Acosx - Bsinx + 4 + 5 (senx+xcosx);  para y ' (p) = 2:

2 = -A + 4 + 5 (-p);  

2 = -A +4 - 5p;  

A= 2-5p

y (t)  = -(2+4p)sinx -4pcosx + 4x + 5xsenx;  que no coincide con tus resoluciones.  Corroborala y si encuentras algún error.

Hola aquí subo el pantallazo de la Pregunta, con todo respeto me dices cual es la respuesta de pregunta si el la 1,2,3,4 cual es mil gracias describa el procedimiento que la justifique

El procedimiento es el que figura en la última respuesta. y(p) es la opción 3), pero no logro que coincida el resultado de y(t), tal cual como te digo al final.

Si estuviera en un examen y necesariamente debería "jugarme" por una respuesta, elegiría la opción 4) porque es la que más se parece a mi resultado.

De todas formas, si logras llegar a alguno de los resultados propuestos en la consigna, me agradaría que me lo hagas llegar (el intercambio es lo más valioso que nos permite este foro, para que todos aprendamos).

Ahora encontré el error de mi resolución y aquí te la mando completa:

𝑦 ′′ + 𝑦 = 4𝑥 + 10 sin 𝑥, 𝑦(𝜋) = 0, 𝑦′(𝜋) = 2

Para y(h):  m^2 +1 = 0;  m=+-i;

y(h) = Asenx + Bcosx

Para y(p):

y(p1):  4x:  Hacemos y(p) = ax + b;  y ' = a;  y " = 0;

0 + ax+b=4x;  a=4;  y(p1) = 4x;

y(p2):  Ccosx + Esinx;  como son linealmente dependientes de y(h):

y(p2):  Cxcosx + Exsinx;  

#### Queda entonces tu primera respuesta:  y(p) = Ax + B + Cxcosx + Exsinx;  opción 3.

y ' (p2) = C (cosx - xsinx) + E (sinx + xcosx)

y " (p2) = C (-sinx - sinx -xcosx) + E (cosx - cosx - xsinx);  o: 

y " (p2) = C (-2sinx -xcosx) - E xsinx ;

C (-2sinx -xcosx) - E xsinx  + Cxcosx + Exsinx = 10 sinx;

C (-2sinx) = 10 sinx;

C= -5

####   Esta es la y total, y = Asenx + Bcosx + 4x - 5xcosx

Pasemos ahora a los valores iniciales:

0 = AsenPi + BcosPi + 4Pi - 5PicosPi;

0 = 0A + (-1B) + 4Pi - 5pi(-1);  

B=9Pi;

Saco y':  Acosx - Bsenx + 4 - 5(cosx -xsenx);   y ' (pi) = 2:

2 = (-1A) - 0 + 4 - 5 ((-1) 

A= 7;  

###  y = 7senx + 9Picosx + 4x - 5xcosx;   opción 1).

Hola Norberto mira lo que me dijo el profesor respecto ala solución del ejercicio
Brayan, para mencionar la correcta debe ser más específico y enunciarla claramente. Muchas gracias por tu colaboración