Problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas
Una ecuación diferencial de la forma M (x, y)dx + N(x, y)dy=0, es exacta cuando: aM/ay =aN/ax , es decir, sus derivadas parciales son iguales.
De las siguientes ecuaciones diferenciales, cuáles de ellas “No” son exactas:
1. (2y^xdx-1) + (4xy^2 + 1)dy =0
2. (xy^2 + y )dx + (x^2y - x)dy = 0
3. (4y^2x^3 + 2y)dx + (2x^4y + 2x)dy =0
4. (3x^2y^2 + y )dx + (2x^3y + x)dy =0
Adjunto pantallazo de la pregunta
Nota: Por favor explicar paso a paso la solución o respuesta de la pregunta
1 Respuesta
1. (2y^xdx-1) + (4xy^2 + 1)dy =0; no lo es, aunque pareciera estar mal transcripta y ser, por ejemplo: (2y^2x -1)dx + (4xy^2 +1)dy=0;
Las parciales quedarían: 4yx; 4y^2, que tampoco lo es.
2. (xy^2 + y )dx + (x^2y - x)dy = 0;
2xy+1; 2xy-1; no lo es.
###Sin embargo, observa en la hoja que adjuntas que has copiado mal un signo y en realidad es: 2. (xy^2 - y )dx + (x^2y - x)dy = 0;
Con lo que ambas parciales son iguales a 2xy-1, y eso la convierte en exacta.
3. (4y^2x^3 + 2y)dx + (2x^4y + 2x)dy =0
8yx^2+2; 8x^3y+2; no lo es.
4. (3x^2y^2 + y )dx + (2x^3y + x)dy =0
6x^2y + 1; 6x^2y + 1; sí lo es.
He cometido un error en:
3) (4y^2x^3 + 2y)dx + (2x^4y + 2x)dy =0
8yx^3+2; 8x^3y+2; sí lo es.
Hola Norberto me puedes colaborar con este otro punto que lo he colocado y no he encontrado respuesta alguna, solo una pero no la entiendo muy bien y gracias este es el punto.
Hay ecuaciones diferenciales que no se pueden resolver utilizando directamente la separación de variables
Ser transformadas en separables por medio de sustituciones adecuadas, como es el caso de las Ecuaciones Diferenciales Homogéneas que son de la forma: dy/dx= f(x, y) , o M (x, y)dx + N (x, y)dy=0, que por homogeneidad quedan del mismo grado y que se pueden expresar como una función que sólo depende del cociente y/x, o de la forma dy/dx= f(u) , donde u=y/x , por lo tanto dy/dx=f(y/x).
- Según la información, la solución de la ecuación diferencial homogénea: y^3 + x^3 dy/dx= xy^2 dy/dxcorresponde a:
a. Y =ce^ y^2/2x^2
b. E^x/y=cx
C. Y=lnx+e ^ y^2/2 + c
d. Y= e^y^2/x^2 + c
adjunto pantallazo
Ya había visto esta pregunta, pero algo está confuso:
y^3 + x^3 dy/dx= xy^2 dy/dx; observa que para ambos lados del signo = hay (dy/dx). Esto es muy raro que se ponga de esta manera, aunque no imposible: y^3 + (x^3 - xy^2)(dy/dx) = 0. De todas maneras es una ED homogénea. Si no llega a ser así, por favor indícame cómo es e intentaré resolverla.
y^3 + (x^3 - xy^2)(dy/dx) = 0.
(x^3 - xy^2)(dy/dx) = - y^3;
(x^3 - xy^2) dy = -y^3 dx; como es una homogénea de 3° grado, continúo:
y=ux; dy=dux + dxu;
(x^3 - x^3u^2)(dux + dxu) = -x^3u^3 dx; simplifico dividiendo por x^3:
(1 -u^2)(dux + dxu) = -u^3 dx;;
dux + dxu - duxu^2 - dxu^3 = -dxu^3; simplifico:
dux + dxu - duxu^2 = 0;
(x - xu^2)du = -dxu;
x(1-u^2)du = -dxu;
(1-u^2)du/u = -dx / x; integro:
(du/u) - udu =- dx/x
ln|u| - (1/2)u^2 = - ln|x| + C;
Puedes hacer: C=ln|A|, que también es una constante, y otra igualdad:
(1/2)u^2= ln|e^[(1/2)u^2]|; reemplazo:
ln|u| - ln|e^[(1/2)u^2]| = -ln |x| + ln|A|;
ln |u / e^[(1/2)u^2] | = ln |A/x|; simplifico:
u / e^[(1/2)u^2] = A/x; devuelvo variable desde: y=ux; u=y/x;
(y/x) / e^[(1/2)(y/x)^2] = Ax;
y / e^[(1/2)(y/x)^2] = A;
y = A * [e^(1/2)(y^2/x^2)]; que corresponde a tu respuesta A. (Observa que usan c como constante en lugar de A, que es lo mismo).
