Resolver la siguiente ecuación diferencial.

Es una ED homogénea, ya que cumple con:

[ky+kx+(k^2/k)(y^2/x)]dx - kxdy=0; que al factorizarse queda como la original:

k[y+x+(y^2/x)]dx - kxdy=0;  o:  [y+x+(y^2/x)]dx - xdy=0;

y=sx;  dy=sdx + xds;  reemplazo:

(sx + x + s^2x^2/x) dx = x (sdx + x ds); factorizo:

x(s+1+s^2) dx = x(sdx + x ds); simplifico:

(s+1+s^2) dx = sdx + x ds;

(s+1+s^2) dx - sdx = x ds;

(1+s^2) dx= x ds;

dx/x = ds/(1+s^2);  integro ambos lados:

ln|x| = tan^(-1) s + C; devuelvo variable inicial:  y=sx; s=y/x;

ln|x| = tan^(-1) (y/x) + C;  despejemos y:

ln|x| - C = tan^(-1) (y/x);

tan (ln|x| - C) = y/x;

y= xtan(ln|x| - C);  que como C es una constante, puedes escribirla indistintamente como + o - C;  

y= xtan(ln|x| + C);  correspondiendo a tu respuesta D.