La primera es exacta porque:
∂ [3y^2/(x^2+3x)] / ∂x = 6y(x^2+3x);
∂ { 2y ln [5x/(x+3)] + 3seny} / ∂x = [2y(x+3)/5x] * [5(x+3) - 5x]/(x+3)^2;
Simplifico: [2y(x+3)/5x] * 15/(x+3)^2; 6y/x(x+3); o: 6y/x^2+3x).
La segunda es homogénea en segundo grado de homogeneidad.
Para resolver la primera:
∫ 3y^2 dx / (x^2+3x); por fracciones parciales:
1/(x^2+3x) = A/x + B/(x+3); 1/(x^2+3x) = [A(x+3) + Bx]/(x^2+3x);
1=[A(x+3) + Bx];
1=3A+0B; para x=0; A=1/3;
1=0A-3B; para x=(-3); B=-1/3:
3y^2 (1/3) [ ∫ dx/x - dx/(x+3)];
y^2 * ( ln|x| - ln|x+3|) + f(y) = C Derivo dy:
2y*( ln|x| - ln|x+3|)+ f ' (y):
Reescribimos: 2y ln [5x/(x+3)] + 3seny}
2y (ln|5x| - ln|x+3|) + 3seny; Igualo:
2y*( ln|x| - ln|x+3|)+ f ' (y) = 2y (ln|5x| - ln|x+3|) + 3seny;
2y*ln|x| + f ' (y) = 2y*ln|5x| + 3seny;
f ' (y) = 2y (ln 5x - ln x) + 3seny;
f ' (y) = 2y*ln5 + 3seny; Integro dy:
y = 2ln5 * y^2/2 - 3cosy + C;
y = ln5 * y^2 - 3cosy + C;
y = ln5 * y^2 - 3cosy + y^2 * ( ln|x| - ln|x+3|) = C;
y = - 3cosy + y^2 * [ ln 5 + (ln|x| - ln|x+3|)] = C;
### y = - 3cosy + y^2 * [ ln |5x / (x+3)| = C; que es la resolución.
Corroboro: dy= 3seny + 2y[ ln |5x / (x+3)|; es correcto;
dx= y^2 { [(x+3)/5x] * [5(x+3) - 5x]/(x+3)^2;
3y^2/ x(x+3); o: 3y^2 / (x^2+3x); también es correcto.
Segunda ED, homogénea en segundo grado de homogeneidad, porque se puede agregar k^2 sin modificarla.
u=x/y; x=uy; dx=ydu + udy; reescribo:
dy/ (ydu+udy)= 2uy^2* e^(u^2) / [y^2 + y^2e^(u^2) + 2y^2u^2e^(u^2)]; simplifico y^2:
dy/ (ydu+udy)= 2u* e^(u^2) / [1 + e^(u^2) + 2u^2e^(u^2)];
[1 + e^(u^2) + 2u^2e^(u^2)]*dy = 2u* e^(u^2)(ydu+udy);
[1 + e^(u^2) + 2u^2e^(u^2)]*dy =2u* e^(u^2)ydu + 2u^2 * e^(u^2)dy;
[1 + e^(u^2) + 2u^2e^(u^2) - 2u^2 * e^(u^2)]*dy =2u* e^(u^2)ydu;
[1 + e^(u^2)]*dy =2u* e^(u^2)ydu;
dy/y = 2u*e^(u^2)*du / [1 + e^(u^2)];
CDV: s=e^(u^2); ds=e^(u^2)*2u*du; du=ds/e^(u^2)*2u;
Reemplazo y simplifico:
dy/y = ds / (1+s); Integro:
ln|y| = ln |1+s| + C; devuelvo última variable:
ln|y| = ln |1+e^(u^2)| + C; hago C= lnA, que también es una constante:
ln|y| = ln |1+e^(u^2)| + lnA; o:
ln|y| = ln |A[1+e^(u^2)]|; Simplifico:
y = A[1+e^(u^2)]; devuelvo primer CDV:
### y = A[1+e^(x/y)^2]; que es tu segunda resolución.