6. El método de variación de parámetros para dar solución a una ecuación diferencial de tercer orden establece que primero se en

En primer lugar, no resolvería por variación de parámetros, ya que por Coeficientes indeterminados tiene una solución casi por cálculo mental... pero haremos ambos procedimientos.

Primero debemos hallar y(h):  m^3 + 2m^2=0;  m^2(m+2)=0;

0; 0; (-2) son las tres soluciones al sistema, quedando:

y(h) = C1 + C2x + C3e^(-2x).

Si hacemos Coeficientes indeterminados:

y(p) = Ae^x;  y '=Ae^x;  y "=Ae^x;  y"'= Ae^x;  reemplazo:

y(p) = Ae^x + 2Ae^x = e^x;   y(p) = 3Ae^x=e^x ;  A= 1/3;

y = C1 + C2x + C3e^(-2x) + (1/3)e^x.

Pasemos ahora a Variación de Parámetros:  y(p) = u1 + u2x + u3e^(-2x)

Comenzamos por calcular el Wronskiano:

Primera fila:  Coeficientes de x:                                  1 %% x %% e^(-2x)  = 0

Segunda fila:  sus primeras derivadas:                    0 %% 1 %% (-2)e^(-2x)  = 0

Tercera fila:  sus terceras derivadas:                        0 %% 0 %% 4e^(-2x) = e^x;

W = 4e^(-2x);  porque es la única diagonal que no se hace igual a cero.

Para W1:  

0 %% x %% e^(-2x)

0 %% 1 %% (-2)e^(-2x)

e^x %% 0 %% 4e^(-2x)

W1 = -2xe^(-x) - e^(-x)

Para W2:

1 %% 0 %% e^(-2x)

0 %% 0 %% (-2)e^(-2x)

0 %% e^x %% 4e^(-2x)

W2= [-(-2)e^(-x)];  o:  2e^(-x); 

Para W3:

1 %% x %% 0

0 %% 1 %% 0

0 %% 0  %% e^x;

W3 = e^x;

Ahora hallamos los valores de u1; u2; u3 (que son tres funciones de x), por integración de la aplicación del método de Cramer para hallar los valores de u1 '; u2 ' y u3 ' (por eso luego hay que integrarlos).

u1 = ∫ (W1/W)dx;  u1= ∫  {[ -2xe^(-x) - e^(-x)] / [4e^(-2x)]} dx;  

u1 =  (-1/2) * ∫ (xe^x + e^x);  (-1/2) ∫ (x+1)e^x * dx;  Integro por partes:

s=(x+1);  ds=dx;

t=e^x;  dt=e^x*dx;  

(-1/2) [e^x(x+1) - ∫ e^x*dx];  

u1= (-1/2) (xe^x +e^x-e^x):  o:  (-1/2)xe^x;

u2=  ∫ (W2/W)dx;  u2= (2/4) ∫ [e^(-x)/e^(-2x) ]* dx;

u2=(1/2)e^x;

u3 = ∫ (W3/W)dx;  u3= (1/4) ∫ e^x / e^(-2x);  u3= ∫ e^(3x);  

u3 = (1/3) e^3x

y(p) = (-1/2)xe^x + (1/2)xe^x + (1/3)

Las respuestas correctas son 1) y 2).

Hola muchas gracias por su ayuda pero tengo una pregunta je je que significa los %% que hay en cada W

Quedo atenta