Hallar los puntos críticos por medio de Multiplicador Lagrange
Quién me puede colaborar con la solución de este ejercicio.
f(x;y)=z = x^2 + 4y^2 +6; Restricción=r: 2x-8y-20=0;
Los puntos críticos son aquellos donde z y r tienen puntos de tangencia, y por ende comparte la misma recta sus vectores normales; por ende sus derivadas parciales serán proporcionales (al usar el Lagrangiano, la proporción es λ.
Entonces: Dz=D λr; o, como lo usaremos: 0=Dz- D λr.
(Existen otras notaciones como: L(x;y;z)=z - λr, que al tomar derivadas parciales hacen 0 a la expresión de la izquierda, y se llega a lo mismo; también otros, que toman las dos derivadas parciales de z y a r, terminando en lo mismo: tres incógnitas, tres ecuaciones).
Derivemos 0=Dz- D λr.
∂z/∂x= 2x - 2λ; igualado a 0 para optimizar: x=λ
∂z/∂y= 8y + 8λ; igualado a 0: y=-λ; que al igualar en con la anterior: x=-y.
∂/∂λ= 2x-8y-20; igualado a 0: 2x=20+8y; reemplazando: 2x=20-8x; x=2;
Queda entonces: x=2; y=-2;
z=4+16+6; z=26,
El punto solicitado es: (2; -2; 26)
Faltó si es máximo o mínimo. Hagamos las segundas derivadas:
∂z/∂x= 2x - 2λ; ∂2z/∂x^2= 2; ∂z/∂xy= 0
∂z/∂y= 8y + 8λ; ∂2z/∂y^2= 8; ∂z/∂yx= 0;
La matriz queda: 2 ###0
0 ###8;
El determinante: (2*8) - (0*0) = 8; valor positivo:
Mínimo.
