7. Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial ordinariaque tiene un valor especificado que se conoce como la

𝑦 ′′ + 𝑦 = 4𝑥 + 10 sin 𝑥, 𝑦(𝜋) = 0, 𝑦′(𝜋) = 2

Para y(h):  m^2 +1 = 0;  m=+-i;

y(h) = Asenx + Bcosx

Para y(p):

y(p1):  4x:  Hacemos y(p) = ax + b;  y ' = a;  y " = 0;

0 + ax+b=4x;  a=4;  y(p1) = 4x;

y(p2):  Ccosx + Esinx;  como son linealmente dependientes de y(h):

y(p2):  Cxcosx + Exsinx;  

#### Queda entonces tu primera respuesta:  y(p) = Ax + B + Cxcosx + Exsinx;  opción 3.

y ' (p2) = C (cosx - xsinx) + E (sinx + xcosx)

y " (p2) = C (-sinx - sinx -xcosx) + E (cosx - cosx - xsinx);  o: 

y " (p2) = C (-2sinx -xcosx) - E xsinx ;

C (-2sinx -xcosx) - E xsinx  + Cxcosx + Exsinx = 10 sinx;

C (-2sinx) = 10 sinx;

C= -5

####   Esta es la y total, y = Asenx + Bcosx + 4x - 5xcosx

Pasemos ahora a los valores iniciales:

0 = AsenPi + BcosPi + 4Pi - 5PicosPi;

0 = 0A + (-1B) + 4Pi - 5pi(-1);  

B=9Pi;

Saco y':  Acosx - Bsenx + 4 - 5(cosx -xsenx);   y ' (pi) = 2:

2 = (-1A) - 0 + 4 - 5 ((-1) 

A= 7;  

###  y = 7senx + 9Picosx + 4x - 5xcosx;   opción 1).

Primero resuelve la ecuación diferencial usando cualquier método para E.D de orden superior, luego evalúa y(π) = 2 en esa solución, luego la derivas y evalúas y'(π) = 2