Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar los extremos con restricciones

;)
Hola jennifer!

Lagrangiano:

$$\begin{align}&L(x,y)=xy- \lambda(x^2+y^2-2)\\&\\&\text{En los extremos las siguientes derivadas parciales se anulan}\\&L_x=y+2x \lambda=0\ \ ==>y=-2x \lambda\\&L_y=x+2 \lambda y=0 \ \==> y= - \frac x {2 \lambda}\\&\\&L_{\lambda}=x^2+y^2-2=0\\&\\&\text{Igualando las dos primeras}\\&-2x \lambda=-\frac x {2 \lambda}\ ==> 4x \lambda^2=x==>4x \lambda^2-x=0\\&x(4 \lambda^2-1)=0\\&==>\\&x=0 ==>y=0==> (0,0)\\&\text{Este punto no cumple la ecuacion 3}:0^2+0^2 \neq 2==> \text{No es extremo}\\&\\&4\lambda^2-1=0\ ==>  \lambda^2= \frac 1 4 ==> \lambda= \pm \frac 1 2\\&Si\ \lambda= \frac 1 2==>y=-2x \lambda=-2x \frac 1 2=-x\\&Sustituyendo\ en \ 3:x^2+x^2=2\ ==> 2x^2=2==> x^2=1\\&\\&==> x=\pm1 ==>(1,-1);(-1,1)\\&\\&Si\ \lambda=- \frac 1 2==>y=-2x \lambda=-2x(- \frac 1 2)=x\\&Sustituyendo\ en \ 3:x^2+x^2=2\ ==> 2x^2=2==> x^2=1\\&\\&==> x=\pm1 ==>(1,1);(-1,-1)\\&\\&\text{Esos son los posibles extremos}:\\&\\&Determinante \ Hessiano:\\&L{xx}\ \ \ \ \ L_{xy}\\&L{yx}\ \ \ \ \ L_{yy}\\&\\&L_{xx}=2 \lambda\\&L_{xy}=L_{yx}=1\\&L{yy}= 2 \lambda\\&\\&Si\ \lambda= \frac 1 2\\&H=\\&|1\ \ \ \ \ 1|\\&|1\ \ \ \  \ 1|\\&=0\\&Si \lambda=- \frac 1 2\\&\\&H=\\&|-1\ \ \ \ \ 1|\\&|1\ \ \ \  \ -1|\\&=0\\&\end{align}$$

Si el hessiano da 0, el criterio no decide si son o no extremos relativos.

Saludos

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