Obtenga los primeros términos de la solución de la ecuación diferencial de Airy𝑦´´(𝑥)−𝑥𝑦(𝑥)=0, 𝑦(0)=𝑦0, 𝑦´(0)=𝑦´0

Y '' - xy=0; es similar a la otra pregunta con aproximación por serie de potencias, sólo que al estar el segundo término multiplicado por x, en lugar de tener x elevado a la k, estará elevado a k+1.

y = ∑ (de 0 a ∞) a(n)*x^n;  derivo dos veces:

y ' = ∑ (de 1 a ∞) n*a(n)*x^(n-1); (ya sabemos que si n=0:  0);

y '' = ∑ (de 2 a ∞) n*(n-1)*a(n)*x^(n-2); Sustituyo:

∑ (de 2 a ∞) n*(n-1)*a(n)*x^(n-2) - ∑ (de 0 a ∞)a(n)*x^(n+1) = 0;

Para el primer término:  k=n-2;  n=k+2;  para el segundo:  k=n+1; n=k-1;

∑ (de (-2) a ∞)(k+2)*(k+1))*a(k+2)*x^k - ∑ (de 1 a ∞)a(k-1)*x^k = 0;

Evaluamos los tres primeros términos de la primera sumatoria:

0*(-1)*a(0)*x^(-2) + 1*0*a(1)*x^(-1) + 2*1*a(2)*x^0;  que es igual a:

2a(2) + [∑ (de 0 a ∞)(k+2)*(k+1))*a(k+2)*- a(k-1)]*x^k = 0;

con lo que, si el corchete vale 0, x^k no puede valer 0, 2a(2)=0;  a(2)=0.

Para el resto, partimos de k=1, desde:

(k+2)*(k+1))*a(k+2) - a(k-1) = 0;  despejamos a^(k-2):

a(k+2) = a(k-1) / [(k+2)(k+1)];  doy valores a k:

k=1:  a(3) = a(0)/6;

k=2:  a(4) = a(1)/12; 

k=3:  a(5) = a(2)/20;  pero como a(2)=0;  a(5)=0;

k=4:  a(6) = a(3)/30;  o:  a(6) = a(0)/180;

k=5:  a(7) = a(4) / 42;  o:  a(1)/ 504;  y así sucesivamente la recurrencia con a(0) y a(1).

y= a(0)x + a(1)x^2 + [a(0)/6]x^3 + [a(1)/12]x^4+ [a(0)/180]a^6+...

a(2)=a(5)=a(8)=a(11)=0.