Derivar la función por "el método de la inversa", (no de la función inversa)

Reescribo como inversa:  f(x) = {x + [x^(-1)] }^(-1);

f ' (x) = -{x + [x^(-1)] }^(-2) * {1+ [-x^(-2)]};

f ' (x) = -{x + [x^(-1)] }^(-2) * {1- [x^(-2)]};  puede quedar asi o:

f ' (x) = {-1/ [x + (1/x)]^2} * {1- [1/(x^2)]}.

Hola NOrberto.

Quizás no esté clara la pregunta

$$\begin{align}&\frac{1}{x+\frac{1}{x}}\end{align}$$

A mí me sale por el método de fracciones :

$$\begin{align}&\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\end{align}$$

Puedes verificar, por favor. Gracias.

Transformemos y=1/[x+(1/x)]:

y= 1/ [(x^2+1)/x];  

y = x / (x^2+1);  derivo:

y ' = [(x^2+1) - (x*2x)] / (x^2+1)^2;  

y ' = (x^2+1-2x^2) / (x^2+1)^2

y ' = (1-x^2) / (x^2+1), con lo que es correcto tu resultado.

Rehagamos el ejercicio con la transformación en inversas:

y={x + [x^(-1)] }^(-1);

y ' = -{x + [x^(-1)] }^(-2) * {1+[-x^(-2)]};

### y ' = - {1/ [x+(1/x)]^2} * [1-(1/x^2)];  

y ' = - [1-(1/x^2)] / [x+(1/x)]^2;

y ' = - [(x^2-1)/x^2 ] / [(x^2+1)^2/x^2];

y ' = - (x^2-1) / (x^2+1)^2:

y ' = (1-x^2) / (x^2+1)^2;  igual resultado que el tuyo.

Mi resultado final anterior es igual a este, pero expresado con las fracciones inversas; observa que es lo mismo que aparece en el punto ###

f ' (x) = {-1/ [x + (1/x)]^2} * {1- [1/(x^2)]}

Siento la tardanza.