Derivar la función por "el método de la inversa", (no de la función inversa)
Derivar la función por el método de la inversa (no de la función inversa), detalle el procedimiento.
Esta es una pregunta de examen, si éste método tiene algún otro nombre, por favor díganme para buscar en los libros, ya que no he encontrado en ninguna parte este método.
Reescribo como inversa: f(x) = {x + [x^(-1)] }^(-1);
f ' (x) = -{x + [x^(-1)] }^(-2) * {1+ [-x^(-2)]};
f ' (x) = -{x + [x^(-1)] }^(-2) * {1- [x^(-2)]}; puede quedar asi o:
f ' (x) = {-1/ [x + (1/x)]^2} * {1- [1/(x^2)]}.
Hola NOrberto.
Quizás no esté clara la pregunta
$$\begin{align}&\frac{1}{x+\frac{1}{x}}\end{align}$$A mí me sale por el método de fracciones :
$$\begin{align}&\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\end{align}$$Puedes verificar, por favor. Gracias.
Transformemos y=1/[x+(1/x)]:
y= 1/ [(x^2+1)/x];
y = x / (x^2+1); derivo:
y ' = [(x^2+1) - (x*2x)] / (x^2+1)^2;
y ' = (x^2+1-2x^2) / (x^2+1)^2
y ' = (1-x^2) / (x^2+1), con lo que es correcto tu resultado.
Rehagamos el ejercicio con la transformación en inversas:
y={x + [x^(-1)] }^(-1);
y ' = -{x + [x^(-1)] }^(-2) * {1+[-x^(-2)]};
### y ' = - {1/ [x+(1/x)]^2} * [1-(1/x^2)];
y ' = - [1-(1/x^2)] / [x+(1/x)]^2;
y ' = - [(x^2-1)/x^2 ] / [(x^2+1)^2/x^2];
y ' = - (x^2-1) / (x^2+1)^2:
y ' = (1-x^2) / (x^2+1)^2; igual resultado que el tuyo.
Mi resultado final anterior es igual a este, pero expresado con las fracciones inversas; observa que es lo mismo que aparece en el punto ###
f ' (x) = {-1/ [x + (1/x)]^2} * {1- [1/(x^2)]}
Siento la tardanza.
Saludos
