Procedimiento para resolver desigualdad de ambas partes

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Casos:

1) Si x>3 ambas fracciones son positivas, luego podemos quitar las barras sin cambiar nada y podemos hacer productos cruzados

5x-15>= 2x-1

3x>= 14

x>= 14/3  

Solución 1=[14/3,+infinito)

Caso2

1/2<=x<=3

La segunda fracción es negativa, luego:

5/(2x-1) >= -1/(x-3)

5/(2x-1). +1/(x-3) >=0

[5(x-3)+1(2x-1)]/(x-3)(2x-1)]>=0

(7x--16)/[(x-3)(2x-1)]>=0

Raíces 16/7; 1/2; 3

El dominio es de [1/2,3]

Luego miramos el signo en los intervalos:

(1/2,16/7) F(1)=(7-16)/[(1-3)(2-1)]=(-)/(-)>0

(16/7,3) F(2.5)=(7*2.5-16)/(-)(+)=+/- <0

Solución 2=(1/2 , 3)

Caso3:

x<1/2

Las dos fracciones son negativas:

-5/(2x-1) >=-1/(x-3)

1/(x-3). -5/(2x-1) >=0

[(2x-1)-5(x-3)]/[(x-3)(2x-1] >=0

(-3x-14)/[(x-3)(2x-1)]>=0

Las raíces son:

-14/3. ,. 3. , 1/2

Como el dominio es (-infinit,1/2) tenemos dos intervalos:

(-infinit, -14/3) F(-10)=(30-14)/(-)(-) =+ >0

(-14/3 , 1/2). F(0)=(-14)/(-3)(-1) <0

Solución3=(-infinit, -14/3)

Saludos y recuerda votar

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La función está definida para todo x =/= 1/2;  y x=/=3;  estos dos valores de x hace 0 a los denominadores y generan asíntotas verticales.

Para eliminar los módulos, hagámoslo a partir de los "ceros" de cada módulo:

2x-1=0;  x=1/2;

Para x< 1/2:  5/(1-2x);  para x>1/2:  5/(2x-1).

x-3=0;  x=3;  

Para x<3:  1/(3-x);  para x>3:  1/(x-3).

Esto genera tres intervalos:  (-Infinito; 1/2);  (1/2; 3);  (3; +Infinito).

Para los tres, debemos desigualar a 0:

a)  (-infinito; 1/2):  5/(1-2x) >= 1/(3-x);  desigualo a 0:

5/(1-2x) - 1/(3-x) >=0;  Factor común en el denominador:

(15-5x -1+2x) / [(1-2x)(3-x)] >=0;  (14-3x) / [(1-2x)(3-x)] >=0;

El denominador será siempre positivo para este intervalo; hallemos la positividad del numerador: 14-3x>0; 14>3x; 14/3 >x; o: x<14/3;  lo que hace válido al intervalo (numerador y denominador positivos, es >0).

b)  (1/2; 3):  5/(2x-1) >= 1/(3-x);  desigualo a 0:

5/(2x-1) - 1/(3-x) >=0;  (15-5x -2x+1) / [(2x-1)(3-x)];  en este intervalo el denominador es negativo (+ x -):  el numerador también debe ser negativo para dar un resultado positivo o 0:   16-7x<=0;  16<=7x;  16/7<=x;

Esto indica que hasta ahora, tenemos un intervalo de validez (tomando el primer y segundo intervalo), que es:

(-infinito; 16/7];  

observar que 16/7 está incluido en la validez porque la consigna es: ">=", no sólo >.

c)  intervalo (3; +infinito):  5/(2x-1) >= 1/(x--3);  desigualo a 0:

5/(2x-1) - 1/(x-3) >=0;    (5x-15 -2x+1) /[(2x-1)(x-3)];  

El denominador en este intervalo es siempre positivo, por lo que para ser válida, el numerador también deberá serlo:

3x-14>=0;  3x>=14;  x>=14/3.

Esto nos da el otro intervalo de validez de la inecuación:  [14/3; +infinito);

incluido 14/3 porque hace igual a 0, tal cual la consigna (">=").

Resultado final:  Válida en los intervalos semiabiertos de x:

(-infinito; 16/7] U [14/3; +infinito)

Puedes ver la gráfica de tu desigualdad en:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot+%7C5%2F(2x-1)%7C+%3E+%7C1%2F(x-3)%7C