Demuestra que una sucesión {an} en un espacio métrico
Demuestre que una sucesión {an} en un espacio métrico converge a x si y sólo si toda subsucesión de {an} tiene a x como punto de acumulación. Por lo tanto {an} converge a x si toda subsucesión tiene a su vez una subsucesión que converge a x.
1 respuesta
Este es el concepto de límite por definición, aplicado a las sucesiones, que puede ser explicado de varias formas: personalmente prefiero: es el valor al que tiende una función en el entorno reducido de un punto (recordar que el entorno reducido de un punto es el espacio alrededor de un punto con excepción del punto).
Entendemos que podemos acercarnos al punto tanto como se quiera a condición que esa distancia sea >0; además, cualquier subsucesión que tomemos, también se acercará a ese punto en igual forma.
Ejemplo: la sucesión: 1/n, con n tendiendo a infinito tiende a 0 (pero nunca llega a 0). Tomemos como inicio de la sucesión n=10: 1/10; 1/11; 1/12; etc;
y ahora la subsucesión iniciada en n=100: 1/100: 1/101; 1/102; etc; y una tercera iniciada en n=1000: 1/1000; 1/1001, etc. Todas tienden a 0 (pero nunca llegan).
Recordar que x es punto de acumulación, también llamado punto límite.
