De las siguientes funciones, determinar curva de nivel
Para cada una de las siguientes funciones, determinar la curva de nivel
a) f(x,y)=x^3-x
b) f(x,y)=cos^2 (x^2+y^2)
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Respuesta de Lucas m
1
;)
Hola Yani!
b)
z=f(x,y)
Las curvas de nivel salen de dar un valor constante (k) a la función z
f(x,y)=z= k
$$\begin{align}&\cos^2(x^2+y^2)=k\\&\\&\text{como el \cos }\alpha \text{está comprendido entre -1 y 1}\\&\\&-1 \leq \cos(x^2+y^2) \leq1 \Rightarrow\\&\\&0 \leq \cos^2(x^2+y^2) \leq 1 \Rightarrow\\&\\&0 \leq k \leq 1\\&\\&0\leq x^2+y^2 \leq 2 \pi\end{align}$$Las curvas de nivel son circunferencias centradas en el origen, excepto para k=1 que es el Origen de coordenadas. Asi:
$$\begin{align}&k=0 \Rightarrow \cos^2(x^2+y^2)=0 \Rightarrow \cos(x^2+y^2)=0 \Rightarrow\\& x^2+y^2= \frac \pi 2\\&\\&x^2+y^2= \frac {3 \pi} 2\\&\\&k= \frac 1 2 \Rightarrow \cos^2(x^2+y^2)=\frac 1 2 \Rightarrow \cos(x^2+y^2)= \pm \frac{\sqrt 2} 2 \Rightarrow \\&x^2+y^2= \frac \pi 4\\&\\&x^2+y^2= \frac {3 \pi} {4}\\&\\&x^2+y^2= \frac{5 \pi }{4}\\&\\&x^2+y^2= \frac{7 \pi} 4\\&\\&k=1 \Rightarrow \cos^2(x^2+y^2)=1 \Rightarrow \cos(x^2+y^2)=\pm 1 \Rightarrow \\&x^2+y^2=0 \ (\text{origen de coordenadas})\\&\\&x^2+y^2=\pi\\&\\&\\&\end{align}$$
Saludos
;)
;)
Te he dibujado un par
;)
Gracias por el inciso b) pero el inciso a) cómo lo haría
;)
De la misma manera:
$$\begin{align}&z=x^3-x\\&\\&z=k\\&x^3-x=k\\&\\&k=0 \Rightarrow x^3-x=0 \Rightarrow x(x^2-1)=0 \Rightarrow\\&x=0\\&x=1\\&x=-1\\&\text{tres rectas paralelas al eje Y}\\&\\&k=6 \Rightarrow x^3-x=6 \Rightarrow x^3-x-6=0 \Rightarrow x=2\\&\\&k=-6 \Rightarrow x^3-x =-6 \Rightarrow x^3-x+6=0 \Rightarrow x=-2\\&\\&\\&\end{align}$$Las curvas de nivel son rectas paralelas al eje Y, lo cual ocurre porque la función z no depende de y
Te he dibujado las tres que salen de k=0
Saludos
;)
;)
